8. 如图，在矩形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，点 $E$，$F$ 分别在边 $AD$，$BC$ 上，且 $DE = CF$，连接 $OE$，$OF$.求证：$OE = OF$.

8.证明:
∵四边形ABCD为矩形,
∴∠ADC=∠BCD=90°,AC=BD,OD=$\frac{1}{2}$BD,OC=$\frac{1}{2}$AC,
∴OD=OC,
∴∠ODC=∠OCD,
∴∠ADC−∠ODC=∠BCD−∠OCD,即∠EDO=∠FCO.又
∵DE=CF,
∴△ODE≌△OCF (SAS).
∴OE=OF.

9. 如图，在矩形 $ABCD$ 中，$AB = 6$，$BC = 8$，对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，过点 $O$ 作 $OE ⊥ AC$ 交 $AD$ 于点 $E$，求 $OE$ 的长.

9.解:连接CE,如图，
∵矩形ABCD中,AB=6,BC=8,
∴AD=BC=8,CD=AB=6,OA=OC.
∵OE⊥AC,
∴OE垂直平分AC,
∴AE=CE.设AE=CE=x,则DE=8−x,在Rt△CDE中,CD²+DE²=CE²,即6²+(8−x)²=x²,解得x=$\frac{25}{4}$.
∵AB=6,BC=8,
∴AC=$\sqrt{AB² + BC²}$ = 10,
∴AO=5,
∴OE=$\sqrt{AE² - AO²}$ = $\frac{15}{4}$,即OE的长为$\frac{15}{4}$.

10. 如图，在矩形 $ABCD$ 中，$E$，$F$ 分别是边 $AB$，$CD$ 上的点，$AE = CF$，连接 $EF$，$BF$，$EF$ 与对角线 $AC$ 交于点 $O$，且 $BE = BF$，$∠ BEF = 2∠ BAC$.
（1）求证：$OE = OF$；
（2）若 $BC = 2\sqrt{3}$，求 $AB$ 的长.

10.提示:(1)证△AOE≌△COF即可.　　(2)解:连接OB,证OB⊥EF,OA=OC.
∴OA=OB=OC,
∴∠OAB=∠OBA.又∠BEF=2∠OBA,
∴∠OBA=30°=∠OAB,
∴AB=$\sqrt{3}$BC = 6.