5. 两组邻边分别相等的四边形我们称它为“筝形”。如图，在四边形 ABCD 中，$ AB = AD $，$ BC = CD $，AC 与 BD 相交于点 O，给出下列结论：① $ AC ⊥ BD $；② AC，BD 互相平分；③ CA 平分 $ ∠BCD $；④ $ ∠ABC = ∠ADC = 90° $；⑤筝形 ABCD 的面积为 $ \frac{1}{2}AC·BD $。其中正确的有。(填序号)

①③⑤
解析：
∵AB=AD，∴点A在线段BD的垂直平分线上。
∵BC=CD，∴点C在线段BD的垂直平分线上。
∴AC是BD的垂直平分线，故AC⊥BD，①正确。
在△ABC和△ADC中，AB=AD，BC=CD，AC=AC，∴△ABC≌△ADC（SSS）。
∴∠BCA=∠DCA，即CA平分∠BCD，③正确。
筝形ABCD面积=S△ABD+S△CBD=1/2·BD·AO+1/2·BD·CO=1/2·BD·(AO+CO)=1/2·AC·BD，⑤正确。
AC与BD不互相平分（仅BD被AC平分），②错误；∠ABC与∠ADC不一定为90°，④错误。
综上，正确的有①③⑤。

6. 【数学应用】如图所示的是遮阳伞的伞柄垂直于地面的示意图。当伞收紧时，点 P 与点 A 重合；当伞慢慢撑开时，动点 P 由点 A 向点 B 移动；当点 P 到达点 B 时，伞张得最开。已知伞在撑开的过程中，总有 $ PM = PN $，$ CM = CN $。
(1)求证：PC 垂直平分 MN；
(2)若 $ CN = PN = 60 cm $，当 $ ∠CPN = 60° $ 时，求 AP 的长。

(1)见证明；(2)30cm。

(1)证明：∵PM=PN，∴点P在线段MN的垂直平分线上。
∵CM=CN，∴点C在线段MN的垂直平分线上。
∵两点确定一条直线，∴直线PC是线段MN的垂直平分线，即PC垂直平分MN。
(2)∵CN=PN=60cm，∠CPN=60°，∴△CPN是等边三角形，∴PC=CN=60cm。
∵PC垂直平分MN，设垂足为O，则∠PON=90°，∠OPN=∠CPN=60°。
在Rt△PON中，PO=PN·cos60°=60×0.5=30cm。
当伞收紧时，P与A重合，此时PC=AC=60cm（伞收紧时PM=PN最小，PC=AC）。
∵P由A向B移动，AP=AC - PO=60 - 30=30cm。

7. 【综合与实践】在 $ △ABC $ 中，DE 垂直平分 AB，分别交 AB，BC 于点 D，E，MN 垂直平分 AC，分别交 AC，BC 于点 M，N，连接 AE，AN。
(1)如图①，若 $ ∠BAC = 100° $，求 $ ∠EAN $ 的度数；
(2)如图②，若 $ ∠BAC = 70° $，求 $ ∠EAN $ 的度数；
(3)若 $ ∠BAC = α(α ≠ 90°) $，请直接写出 $ ∠EAN $ 的度数。(用含 α 的代数式表示)

(1) ∵DE垂直平分AB，∴EA=EB，∠EAB=∠B。
∵MN垂直平分AC，∴NA=NC，∠NAC=∠C。
在△ABC中，∠B+∠C=180°-∠BAC=180°-100°=80°，
∴∠EAB+∠NAC=80°，
∴∠EAN=∠BAC-(∠EAB+∠NAC)=100°-80°=20°。
(2) ∵DE垂直平分AB，∴EA=EB，∠EAB=∠B。
∵MN垂直平分AC，∴NA=NC，∠NAC=∠C。
在△ABC中，∠B+∠C=180°-∠BAC=180°-70°=110°，
∴∠EAB+∠NAC=110°，
∴∠EAN=∠EAB+∠NAC-∠BAC=110°-70°=40°。
(3) 当α＜90°时，∠EAN=180°-2α；当α＞90°时，∠EAN=2α-180°。