三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到的距离相等。

三角形三个顶点

1. 如图,以点 $ C $ 为圆心,以大于点 $ C $ 到 $ AB $ 的距离为半径作弧,交 $ AB $ 于点 $ D,E $,再以点 $ D,E $ 为圆心,以大于 $ \dfrac{1}{2}DE $ 的长为半径作弧,两弧交于点 $ F $,作射线 $ CF $,则()。

A.$ CF $ 平分 $ ∠ACB $
B.$ CF⊥AB $
C.$ CF $ 平分 $ AB $
D.$ CF $ 垂直平分 $ AB $

B

由作图步骤可知，以点C为圆心，大于C到AB距离为半径作弧交AB于D、E，则CD=CE；再以D、E为圆心，大于1/2DE长为半径作弧交于F，则DF=EF。根据线段垂直平分线的判定，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，所以点C、F均在DE的垂直平分线上，故CF垂直平分DE。又因为D、E在AB上，所以CF⊥AB。

2. 如图,线段 $ AB $ 的垂直平分线与 $ BC $ 的垂直平分线的交点 $ P $ 恰好在 $ AC $ 上,且 $ AC = 12\ \mathrm{cm} $,则点 $ B $ 与点 $ P $ 的距离为。

∵P是AB垂直平分线上的点，
∴PA=PB（线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等）。
∵P是BC垂直平分线上的点，
∴PB=PC（线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等）。
∴PA=PB=PC。
∵P在AC上，AC=12cm，
∴PA+PC=AC=12cm。
又∵PA=PC，
∴PA=PC=6cm。
∴PB=PA=6cm。
6cm

3. 已知 $ △ABC $ 的边 $ AB,AC $ 的垂直平分线相交于点 $ P $,连接 $ PB,PC $。若 $ ∠BPC = 140^{\circ} $,则 $ ∠A $ 的度数为。

连接AP。
∵点P在AB的垂直平分线上，∴PA=PB，故∠PAB=∠PBA。
∵点P在AC的垂直平分线上，∴PA=PC，故∠PAC=∠PCA。
设∠PAB=∠PBA=x，∠PAC=∠PCA=y，则∠A=x+y。
∵PA=PB=PC，∴PB=PC，△PBC为等腰三角形。
在△BPC中，∠BPC=140°，∴∠PBC=∠PCB=(180°-140°)/2=20°。
在△ABC中，∠ABC=∠PBA+∠PBC=x+20°，∠ACB=∠PCA+∠PCB=y+20°。
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴(x+y)+(x+20°)+(y+20°)=180°，
化简得2(x+y)=140°，即x+y=70°，∴∠A=70°。
70°

4. 如图,在 $ △ABC $ 中,$ ∠A = 60^{\circ} $,请用尺规在边 $ AB $ 上找一点 $ D $,使得 $ ∠ACD = 30^{\circ} $。(不写作法,保留作图痕迹)

1. 以点C为圆心，适当长度为半径画弧，交AB于E、F两点；
2. 分别以E、F为圆心，大于EF一半的长度为半径画弧，两弧在AB下方交于点G；
3. 连接CG，交AB于点D。
点D即为所求。