5. 如图,已知线段 $ a,h $,作等腰三角形 $ ABC $,使 $ AB = AC $,且 $ BC = a $,$ BC $ 边上的高 $ AD = h $。张红的作法是:①作线段 $ BC = a $;②作线段 $ BC $ 的垂直平分线 $ MN $,$ MN $ 与 $ BC $ 相交于点 $ D $;③在直线 $ MN $ 上截取长度为 $ h $ 的线段;④连接 $ AB,AC $,则 $ △ABC $ 为所要求作的等腰三角形。上述作法的四个步骤中,有错误的一步是()。


A.①
B.②
C.③
D.④

C

步骤①：作线段 $ BC = a $，这一步是正确的。
步骤②：作线段 $ BC $ 的垂直平分线 $ MN $，$ MN $ 与 $ BC $ 相交于点 $ D $，这一步是正确的。
步骤③：在垂直平分线 $ MN $ 上截取长度为 $ h $ 的线段 $ AD $，这一步有错误，正确的应该是在垂直平分线 $ MN $ 上，从点 $ D $ 向上截取 $ AD = h $，而不是简单地说截取长度为 $ h $ 的线段。
步骤④：连接 $ AB $ 和 $ AC $，这一步是正确的。
因此，有错误的一步是步骤③。

6. 如图,在 $ △ABC $ 中,$ ∠ACB = 90^{\circ} $,$ AC ＜ BC $。分别以点 $ A,B $ 为圆心,以大于 $ \dfrac{1}{2}AB $ 的长为半径画弧,两弧交于 $ D,E $ 两点,直线 $ DE $ 交 $ BC $ 于点 $ F $,连接 $ AF $。以点 $ A $ 为圆心,以 $ AF $ 的长为半径画弧,交 $ BC $ 的延长线于点 $ G $,连接 $ AG $。若 $ △AFG $ 的周长为 $ 12 $,则 $ BC $ 的长为()。

A.$ 6 $
B.$ \dfrac{13}{2} $
C.$ 7 $
D.$ \dfrac{15}{2} $

A

由题意，DE是AB的垂直平分线，故FA=FB（垂直平分线上的点到线段两端距离相等）。以A为圆心，AF为半径画弧交BC延长线于G，则AG=AF，故AG=AF=FB。设AF=FB=x，CF=CG=y（由AG=AF及勾股定理可得CF=CG）。△AFG周长=AF+FG+AG=x+2y+x=2(x+y)=12，故x+y=6。又BC=BF+FC=x+y，所以BC=6。

7. 【综合与实践】通过对下面数学模型的探究学习,解决问题。
【模型理解】
(1) 如图①,$ △ABC $,$ △ADE $ 共顶点 $ A $,$ AB = AC $,$ AD = AE $,$ ∠BAC = ∠DAE $,连接 $ BD,CE $。可以通过推理得到 $ △ABD ≌ △ACE $,进而得到 $ BD = $,$ ∠ABD = $。

【问题探究】
(2) 小明在思考完上述问题后,解决了下面的尺规作图问题。
如图②,已知直线 $ a,b $ 及点 $ P $,$ a $ 与 $ b $ 不平行。作等腰直角三角形 $ PAB $,使得点 $ A,B $ 分别在直线 $ a,b $ 上。
小明的作法简述如下:如图③,过点 $ P $ 作 $ PD⊥a $,垂足为 $ D $,以 $ P $ 为直角顶点作等腰直角三角形 $ PDE $,过点 $ E $ 作 $ EB⊥PE $,交 $ b $ 于点 $ B $,在 $ a $ 上截取 $ DA = BE $,连接 $ AB,AP,BP $。$ △PAB $ 为所要求作的等腰直角三角形。
请证明小明的作法是正确的。
【深入探究】
小明经过探究发现:在上题条件下,也能作出等边三角形 $ PAB $,使得点 $ A,B $ 分别在直线 $ a,b $ 上。
(3) 请你在图④中画出示意图,并简述作法。(要求用尺规作图)

(1) CE；∠ACE
(2) 证明：
∵PD⊥a，∴∠PDA=90°。
∵△PDE是等腰直角三角形，P为直角顶点，∴PD=PE，∠DPE=90°。
∵EB⊥PE，∴∠PEB=90°。
在△PDA和△PEB中，
$\{\begin{array}{l} PD=PE \\ ∠PDA=∠PEB=90° \\ DA=BE \end{array} $
∴△PDA≌△PEB(SAS)。
∴PA=PB，∠DPA=∠EPB。
∵∠DPE=∠DPA+∠APE=90°，
∴∠APB=∠APE+∠EPB=∠APE+∠DPA=90°。
∴△PAB是等腰直角三角形。
(3) 示意图如下（图④），作法：
①过点P作PD⊥直线a，垂足为D；
②以P为顶点，PD为一边作∠DPE=60°，且截取PE=PD，得点E；
③过点E作EB⊥PE，交直线b于点B；
④在直线a上截取DA=BE；
⑤连接AB、AP、BP。△PAB即为所求等边三角形。