6. 【阅读理解】半角模型是指有公共顶点的两个角：锐角等于较大角的一半，且较大角的两边相等。通过旋转或截长补短，可将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构造全等三角形，用以解决线段关系、角度、面积等问题。
【初步探究】如图 1，在正方形 $ABCD$ 中，点 $E$，$F$ 分别在边 $BC$，$CD$ 上，连接 $AE$，$AF$，$EF$。若 $∠ EAF = 45^{\circ}$，将 $△ ADF$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $90^{\circ}$。点 $D$ 与点 $B$ 重合，得到 $△ ABG$，易证：$△ AEF ≌ △ AEG$。
(1) 根据以上信息，填空：① $∠ EAG =\_\_\_\_\_\_^{\circ}$，②线段 $BE$，$EF$，$DF$ 之间满足的数量关系为；
【迁移探究】(2) 如图 2，在正方形 $AB - CD$ 中，若点 $E$ 在射线 $CB$ 上，点 $F$ 在射线 $DC$ 上，$∠ EAF = 45^{\circ}$，猜想线段 $BE$，$EF$，$DF$ 之间的数量关系，并证明你的结论；
【拓展探索】(3) 如图 3，已知正方形 $ABCD$ 的边长为 $3\sqrt{2}$，$∠ EAF = 45^{\circ}$，连接 $BD$，分别交 $AE$，$AF$ 于点 $M$，$N$，若点 $M$ 恰好为线段 $BD$ 的三等分点，且 $BM ＜ DM$，求线段 $MN$ 的长。

(1)①45 ②EF=BE+DF
(2)EF=DF-BE。证明：将△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ADH，由旋转性质得AH=AE，∠DAH=∠BAE，DH=BE。∵∠EAF=45°，∠BAD=90°，∴∠BAE+∠DAF=45°，∴∠DAH+∠DAF=∠HAF=45°=∠EAF。在△AEF和△AHF中，AE=AH，∠EAF=∠HAF，AF=AF，∴△AEF≌△AHF(SAS)，∴EF=HF。∵H在射线DC上，DH=BE，∴HF=DF-DH=DF-BE，∴EF=DF-BE。
(3)5/2

例1 如图,在$□ ABCD$中,E 是 AB 边上的点,过点 E 作$EF// BD$交 CD 的延长线于点 F,交 AD 于点 M.
(1)求证:$BD=EF;$
(2)若 M 是 AD 的中点,$CD=8$,求 AE 的长.

(1) 证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，即EB//FD。
∵EF//BD，
∴四边形BDFE是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。
∴BD=EF（平行四边形对边相等）。
(2) 解：
∵M是AD中点，
∴AM=DM。
∵ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB=CD=8，∠A=∠FDM。
∵AB//CD，EF//BD，
∴∠AEM=∠F。
在△AEM和△DFM中，
∠A=∠FDM，∠AEM=∠F，AM=DM，
∴△AEM≌△DFM（AAS）。
∴AE=DF。
∵四边形BDFE是平行四边形，
∴EB=FD。
∴EB=AE。
设AE=x，则EB=8 - x，
∴8 - x = x，解得x=4。
即AE=4。
答案：(1) 见证明过程；(2) 4。

(1) 证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，即EB//FD。
∵EF//BD，
∴四边形BDFE是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。
∴BD=EF（平行四边形对边相等）。
(2) 解：
∵M是AD中点，∴AM=DM。
∵ABCD是平行四边形，∴AB//CD，AB=CD=8，∠A=∠FDM。
∵AB//CD，EF//BD，∴∠AEM=∠F。
在△AEM和△DFM中，
∠A=∠FDM，∠AEM=∠F，AM=DM，
∴△AEM≌△DFM（AAS）。
∴AE=DF。
∵四边形BDFE是平行四边形，∴EB=FD。
∴EB=AE。
设AE=x，则EB=8 - x，
∴8 - x = x，解得x=4。
即AE=4。

巩固提升 如图,在$□ ABCD$中,E,F 分别是 AB,CD 的中点.
(1)求证:四边形 EBFD 为平行四边形;
(2)对角线 AC 分别与 DE,BF 交于点 M,N,求证:$△ABN≌ △CDM.$

(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB//CD。
∵E，F分别是AB，CD的中点，
∴BE=1/2AB，DF=1/2CD，
∴BE=DF。
又∵BE//DF，
∴四边形EBFD为平行四边形。
(2)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB=CD，∠BAN=∠DCM。
∵四边形EBFD为平行四边形，
∴DE//BF，
∴∠ANB=∠CMD。
在△ABN和△CDM中，
∠BAN=∠DCM，
∠ANB=∠CMD，
AB=CD，
∴△ABN≌△CDM(AAS)。

例2 如图,在$△ABC$中,分别以 AB,AC,BC 为边在 BC 的同侧作等边$△ABD$,等边$△ACE$,等边$△BCF$,连接 DF,EF.
(1)求证:四边形 ADFE 是平行四边形.
(2)探究下列问题:(只填满足的条件,不需证明)
①当$△ABC$满足时,四边形 ADFE 是矩形;
②当$△ABC$满足时,四边形 ADFE 是菱形;
③当$△ABC$满足时,四边形 ADFE 是正方形;
④当$△ABC$满足时,以 D,A,E,F 为顶点的四边形不存在.

易错分析 此题主要考查了平行四边形和特殊平行四边形的判定,易错的是在复杂的图形中寻找目标“手拉手”证全等,以及对于存在性问题有畏难情绪而缺少思路.

(1) 证明：
∵△ABD、△ACE、△BCF是等边三角形，
∴AB=BD=AD，AC=CE=AE，BC=BF=CF，
∠ABD=∠CBF=60°，∠ACE=60°，∠DAB=∠EAC=60°。
在△ABC和△EFC中，
AC=CE，∠ACB=∠ECF（∠ACB+∠ACF=∠ECF+∠ACF=60°），BC=CF，
∴△ABC≌△EFC（SAS），∴AB=EF，又AB=AD，∴AD=EF。
在△ABC和△DBF中，
AB=BD，∠ABC=∠DBF（∠ABC+∠ABF=∠DBF+∠ABF=60°），BC=BF，
∴△ABC≌△DBF（SAS），∴AC=DF，又AC=AE，∴AE=DF。
∵AD=EF且AE=DF，∴四边形ADFE是平行四边形。
(2) ①∠BAC=150°
②AB=AC
③AB=AC且∠BAC=150°
④∠BAC=60°