巩固提升 如图,在矩形 ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点 O,过点 O 的直线 EF 分别与直线 AD,BC 相交于点 E,F.
(1)求证:$△BOF≌ △DOE;$
(2)试探索当 AC 与 EF 满足什么关系时,四边形 AFCE 为菱形,并证明你的结论.

(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴对角线AC、BD互相平分，即BO=DO。
∵AD//BC，∴∠OFB=∠OED（两直线平行，内错角相等）。
在△BOF和△DOE中，
$\{\begin{array}{l} ∠BOF=∠DOE（对顶角相等）\\ ∠OFB=∠OED\\ BO=DO\end{array} $，
∴△BOF≌△DOE（AAS）。
(2)当AC⊥EF时，四边形AFCE为菱形。
证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AO=OC。
由(1)知△BOF≌△DOE，∴OE=OF。
∴AC与EF互相平分，故四边形AFCE是平行四边形。
又∵AC⊥EF，∴平行四边形AFCE是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）。

例3 如图,在$Rt△ABC$中,$AC=BC,$$∠ACB=90^{\circ }$,D 是 AC 边上的一点,M 是 BD 的中点,CN 平分$∠ACB$,$DN⊥CN$于点 N.
求证:$MN=\frac {1}{2}AD.$

易错分析 此题主要考查了三角形中位线的灵活运用,易错的是不能快速找到与两条目标线段相关联的线段进行转化,以及对条件的联想不够敏感导致不会作辅助线.

延长DN交BC于点E.
∵CN平分∠ACB，∠ACB=90°，∴∠ACN=∠BCN=45°.
∵DN⊥CN，∴∠DNC=∠ENC=90°.
在△CNE中，∠BCN=45°，∠ENC=90°，∴∠CEN=45°，∴△CNE为等腰直角三角形，∴CN=NE.
在△DNC中，∠ACN=45°，∠DNC=90°，∴∠CDN=45°，∴△DNC为等腰直角三角形，∴DN=CN.
∴DN=NE，即N为DE中点.
∵M是BD中点，∴MN是△BDE的中位线，∴MN=1/2BE.
∵△DNC和△CNE为等腰直角三角形，∴CD=√2CN，CE=√2CN，∴CD=CE.
设AC=BC=a，AD=x，则CD=AC-AD=a-x，∴CE=CD=a-x.
∴BE=BC-CE=a-(a-x)=x=AD.
∴MN=1/2BE=1/2AD.

巩固提升 (1)如图,在$△ABC$中,D,E 分别是边 AB,BC 的中点,点 F 在线段 DE 的延长线上,且$∠BFC=90^{\circ }$,若$AC=4,BC=8$,则 DF 的长是.

(2)如图,已知$Rt△ABC≌ Rt△DEC,$$∠ACB=∠DCE=90^{\circ }$,F 是 DE 的中点,连接 AF,若$∠FAE=30^{\circ },AF=2$,则 BC 的长为.

【解析】：(1)
∵D,E分别是AB,BC中点,
∴DE是△ABC中位线,DE=AC/2=2.
∵∠BFC=90°,E为BC中点,
∴EF=BC/2=4.
∴DF=DE+EF=2+4=6.
(2)连接CF,
∵F是Rt△DEC斜边DE中点,
∴CF=DE/2=EF.
∵Rt△ABC≌Rt△DEC,
∴DE=AB,AC=DC.∠FAE=30°,易证AF=CF=2,
∴DE=4=AB.∠BAC=30°,在Rt△ABC中,BC=AB/2=2.
【答案】：6;2

(1)∵D,E分别是AB,BC中点,∴DE是△ABC中位线,DE=AC/2=2.∵∠BFC=90°,E为BC中点,∴EF=BC/2=4.∴DF=DE+EF=2+4=6.
(2)连接CF,∵F是Rt△DEC斜边DE中点,∴CF=DE/2=EF.∵Rt△ABC≌Rt△DEC,∴DE=AB,AC=DC.∠FAE=30°,易证AF=CF=2,∴DE=4=AB.∠BAC=30°,在Rt△ABC中,BC=AB/2=2.

1. 如图,四边形 ABCD 的对角线 AC,BD 交于点 O,则下列判断不正确的是()


A.若$OA=OC,OB=OD$,则四边形 ABCD是平行四边形
B.若$OA=OC,OB=OD$,且$∠ABC=90^{\circ }$,则四边形 ABCD 是矩形
C.若$AB=BC=CD=AD$,则四边形 ABCD 是正方形
D.若$AD// BC,AD=BC,AC⊥BD$,则四边形 ABCD 是菱形

C

A.对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确；B.对角线互相平分且有一个角是直角的四边形是矩形，正确；C.四边相等的四边形是菱形，不一定是正方形，错误；D.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，正确。