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10. 已知$m + n = 2$，则$m^{2}-n^{2}+4n$的值是(
A.2
B.6
C.4
D.8
C
)A.2
B.6
C.4
D.8
答案
10. C
解析
【分析】
首先观察所求代数式，其中$m^2 - n^2$符合平方差公式的形式，我们可以先利用平方差公式对其因式分解。已知$m + n = 2$，将分解后的式子代入该已知条件，再对代数式合并同类项化简，最后通过整体代入$m + n = 2$就能计算出结果。具体思考路径为：先分解平方差，再代入已知值，接着化简式子，最后整体代入求值。
【解析】
$\begin{aligned}m^2 - n^2 + 4n&=(m - n)(m + n) + 4n\\&=2(m - n) + 4n \quad \mathrm{（代入已知条件 } m + n = 2\mathrm{）}\\&=2m - 2n + 4n\\&=2m + 2n\\&=2(m + n)\\&=2×2\\&=4\end{aligned}$
【答案】
C
【知识点】
平方差公式；代数式化简求值
【点评】
本题主要考查平方差公式的应用及代数式化简求值，核心是运用整体代入思想简化计算。解题关键在于识别平方差形式，通过因式分解将所求代数式转化为含已知条件$m + n$的形式，整体代入即可快速得出结果，属于基础题型，侧重对公式和整体思想的考查。
【难度系数】
0.7
首先观察所求代数式，其中$m^2 - n^2$符合平方差公式的形式，我们可以先利用平方差公式对其因式分解。已知$m + n = 2$，将分解后的式子代入该已知条件，再对代数式合并同类项化简，最后通过整体代入$m + n = 2$就能计算出结果。具体思考路径为：先分解平方差，再代入已知值，接着化简式子，最后整体代入求值。
【解析】
$\begin{aligned}m^2 - n^2 + 4n&=(m - n)(m + n) + 4n\\&=2(m - n) + 4n \quad \mathrm{（代入已知条件 } m + n = 2\mathrm{）}\\&=2m - 2n + 4n\\&=2m + 2n\\&=2(m + n)\\&=2×2\\&=4\end{aligned}$
【答案】
C
【知识点】
平方差公式；代数式化简求值
【点评】
本题主要考查平方差公式的应用及代数式化简求值，核心是运用整体代入思想简化计算。解题关键在于识别平方差形式，通过因式分解将所求代数式转化为含已知条件$m + n$的形式，整体代入即可快速得出结果，属于基础题型，侧重对公式和整体思想的考查。
【难度系数】
0.7
11. 已知$5^{8}-1$能被$20∼30$之间的两个整数整除，则这两个整数是
24，26
。答案
11. 24，26
解析
【分析】
要解决这个问题，关键是通过因式分解将$5^8 - 1$转化为多个整数乘积的形式，从而找到20~30之间的因数。首先观察到$5^8 - 1$符合平方差公式$a^2 - b^2=(a-b)(a+b)$的结构，我们可以多次利用平方差公式逐步分解：先把$5^8$看作$(5^4)^2$，1看作$1^2$，第一次分解后得到$(5^4 - 1)(5^4 + 1)$；接着对$5^4 - 1$再次使用平方差公式，将其分解为$(5^2 - 1)(5^2 + 1)$，计算后就能得到20~30之间的整数，最后验证剩余因式的因数是否在范围内即可。
【解析】
$\begin{aligned}5^8 - 1&=(5^4)^2 - 1^2\\&=(5^4 - 1)(5^4 + 1)\\&=[(5^2)^2 - 1^2](5^4 + 1)\\&=(5^2 - 1)(5^2 + 1)(5^4 + 1)\\&=(25 - 1)(25 + 1)(625 + 1)\\&=24×26×626\end{aligned}$
其中$626=2×313$，2和313都不在20~30之间，因此$5^8 - 1$能被20~30之间的24和26整除。
【答案】
24，26
【知识点】
平方差公式，因式分解
【点评】
本题主要考查平方差公式的多次运用及因式分解的应用，需要学生熟练掌握平方差公式的结构特征，学会将高次幂的代数式逐步分解，通过分解后的乘积形式找到符合条件的因数，锻炼学生的代数变形能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.4
要解决这个问题，关键是通过因式分解将$5^8 - 1$转化为多个整数乘积的形式，从而找到20~30之间的因数。首先观察到$5^8 - 1$符合平方差公式$a^2 - b^2=(a-b)(a+b)$的结构，我们可以多次利用平方差公式逐步分解：先把$5^8$看作$(5^4)^2$，1看作$1^2$，第一次分解后得到$(5^4 - 1)(5^4 + 1)$；接着对$5^4 - 1$再次使用平方差公式，将其分解为$(5^2 - 1)(5^2 + 1)$，计算后就能得到20~30之间的整数，最后验证剩余因式的因数是否在范围内即可。
【解析】
$\begin{aligned}5^8 - 1&=(5^4)^2 - 1^2\\&=(5^4 - 1)(5^4 + 1)\\&=[(5^2)^2 - 1^2](5^4 + 1)\\&=(5^2 - 1)(5^2 + 1)(5^4 + 1)\\&=(25 - 1)(25 + 1)(625 + 1)\\&=24×26×626\end{aligned}$
其中$626=2×313$，2和313都不在20~30之间，因此$5^8 - 1$能被20~30之间的24和26整除。
【答案】
24，26
【知识点】
平方差公式，因式分解
【点评】
本题主要考查平方差公式的多次运用及因式分解的应用，需要学生熟练掌握平方差公式的结构特征，学会将高次幂的代数式逐步分解，通过分解后的乘积形式找到符合条件的因数，锻炼学生的代数变形能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.4
12. 已知$x^{2}-y^{2}=24$，$x + y = -6$，则代数式$5x + 3y=$
-28
。答案
12. -28
解析
【分析】
这道题需要求代数式$5x + 3y$的值，已知$x^2 - y^2=24$和$x + y=-6$。首先可利用平方差公式将$x^2 - y^2$分解为$(x+y)(x-y)$，结合已知的$x+y=-6$就能求出$x-y$的值；接着联立$x+y=-6$与求出的$x-y$的方程，通过解二元一次方程组得到$x$和$y$的具体数值；最后将$x$、$y$代入$5x + 3y$即可算出结果。
【解析】
1. 利用平方差公式求$x-y$的值：
因为$x^2 - y^2=(x+y)(x-y)$，将$x^2 - y^2=24$，$x+y=-6$代入得：
$-6(x-y)=24$，
两边同时除以$-6$，解得$x-y=-4$。
2. 解二元一次方程组：
联立方程组$\begin{cases}x+y=-6 \\ x-y=-4\end{cases}$，
将两个方程相加：$(x+y)+(x-y)=-6+(-4)$，
化简得$2x=-10$，解得$x=-5$。
把$x=-5$代入$x+y=-6$，得$-5+y=-6$，解得$y=-1$。
3. 计算代数式$5x + 3y$的值：
将$x=-5$，$y=-1$代入$5x + 3y$，
$5×(-5)+3×(-1)=-25-3=-28$。
【答案】
-28
【知识点】
平方差公式，二元一次方程组解法
【点评】
本题重点考查平方差公式的应用及二元一次方程组的求解，解题核心是通过平方差公式搭建已知与未知的桥梁，先求出$x-y$，再联立方程解出$x$、$y$，最后代入计算。题目逻辑清晰，步骤明确，需要学生熟练掌握公式和方程组的基本解法。
【难度系数】
0.7
这道题需要求代数式$5x + 3y$的值，已知$x^2 - y^2=24$和$x + y=-6$。首先可利用平方差公式将$x^2 - y^2$分解为$(x+y)(x-y)$，结合已知的$x+y=-6$就能求出$x-y$的值；接着联立$x+y=-6$与求出的$x-y$的方程，通过解二元一次方程组得到$x$和$y$的具体数值；最后将$x$、$y$代入$5x + 3y$即可算出结果。
【解析】
1. 利用平方差公式求$x-y$的值：
因为$x^2 - y^2=(x+y)(x-y)$，将$x^2 - y^2=24$，$x+y=-6$代入得：
$-6(x-y)=24$，
两边同时除以$-6$，解得$x-y=-4$。
2. 解二元一次方程组：
联立方程组$\begin{cases}x+y=-6 \\ x-y=-4\end{cases}$，
将两个方程相加：$(x+y)+(x-y)=-6+(-4)$，
化简得$2x=-10$，解得$x=-5$。
把$x=-5$代入$x+y=-6$，得$-5+y=-6$，解得$y=-1$。
3. 计算代数式$5x + 3y$的值：
将$x=-5$，$y=-1$代入$5x + 3y$，
$5×(-5)+3×(-1)=-25-3=-28$。
【答案】
-28
【知识点】
平方差公式，二元一次方程组解法
【点评】
本题重点考查平方差公式的应用及二元一次方程组的求解，解题核心是通过平方差公式搭建已知与未知的桥梁，先求出$x-y$，再联立方程解出$x$、$y$，最后代入计算。题目逻辑清晰，步骤明确，需要学生熟练掌握公式和方程组的基本解法。
【难度系数】
0.7
13. 把下列各式分解因式。
（1）$16x^{4}-1$。
（2）$(a - b)^{2}-4$。
（3）$4x^{2}-(y - z)^{2}$。
（4）$16(a - b)^{2}-(a + b)^{2}$。
（1）$16x^{4}-1$。
（2）$(a - b)^{2}-4$。
（3）$4x^{2}-(y - z)^{2}$。
（4）$16(a - b)^{2}-(a + b)^{2}$。
答案
13. 解：(1)原式$ = (4x^2 + 1)(2x + 1)(2x - 1) $。
(2)原式$ = (a - b + 2)(a - b - 2) $。
(3)原式$ = (2x + y - z)(2x - y + z) $。
(4)原式$ = [4(a - b) + (a + b)][4(a - b) - (a + b)] = (5a - 3b)(3a - 5b) $。
(2)原式$ = (a - b + 2)(a - b - 2) $。
(3)原式$ = (2x + y - z)(2x - y + z) $。
(4)原式$ = [4(a - b) + (a + b)][4(a - b) - (a + b)] = (5a - 3b)(3a - 5b) $。
解析
【分析】
这四道题均考查利用平方差公式分解因式，解题核心是识别式子是否符合平方差形式$a^2 - b^2$，再确定公式中的$a$和$b$（可将整体看作一个字母），最后套用公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，注意分解要彻底。
具体思路：
（1）先将$16x^4$写成$(4x^2)^2$，$1$写成$1^2$，符合平方差形式，分解后得到$(4x^2+1)(4x^2-1)$，其中$4x^2-1$仍符合平方差形式，需继续分解；
（2）把$(a-b)$看作整体，相当于公式中的$a$，$4$写成$2^2$作为$b^2$，直接套用平方差公式展开即可；
（3）将$4x^2$写成$(2x)^2$，$(y-z)$看作整体作为$b$，套用公式后整理括号内的式子；
（4）把$16(a-b)^2$写成$[4(a-b)]^2$，$(a+b)^2$作为$b^2$，先套用平方差公式，再化简两个括号内的整式。
【解析】
（1）$16x^{4}-1$
$=(4x^2)^2 - 1^2$
$=(4x^2 + 1)(4x^2 - 1)$
$=(4x^2 + 1)(2x + 1)(2x - 1)$
（2）$(a - b)^{2}-4$
$=(a - b)^2 - 2^2$
$=(a - b + 2)(a - b - 2)$
（3）$4x^{2}-(y - z)^{2}$
$=(2x)^2 - (y - z)^2$
$=(2x + y - z)(2x - y + z)$
（4）$16(a - b)^{2}-(a + b)^{2}$
$=[4(a - b)]^2 - (a + b)^2$
$=[4(a - b) + (a + b)][4(a - b) - (a + b)]$
$=(4a - 4b + a + b)(4a - 4b - a - b)$
$=(5a - 3b)(3a - 5b)$
【答案】
(1) $(4x^2 + 1)(2x + 1)(2x - 1)$；
(2) $(a - b + 2)(a - b - 2)$；
(3) $(2x + y - z)(2x - y + z)$；
(4) $(5a - 3b)(3a - 5b)$
【知识点】
平方差公式分解因式，整体思想
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考查平方差公式的灵活应用，解题时需准确识别平方差的结构特征，学会将多项式中的整体看作一个字母运用公式，同时要注意因式分解需进行到每一个因式都不能再分解为止，培养严谨的解题习惯。
【难度系数】
0.7
这四道题均考查利用平方差公式分解因式，解题核心是识别式子是否符合平方差形式$a^2 - b^2$，再确定公式中的$a$和$b$（可将整体看作一个字母），最后套用公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，注意分解要彻底。
具体思路：
（1）先将$16x^4$写成$(4x^2)^2$，$1$写成$1^2$，符合平方差形式，分解后得到$(4x^2+1)(4x^2-1)$，其中$4x^2-1$仍符合平方差形式，需继续分解；
（2）把$(a-b)$看作整体，相当于公式中的$a$，$4$写成$2^2$作为$b^2$，直接套用平方差公式展开即可；
（3）将$4x^2$写成$(2x)^2$，$(y-z)$看作整体作为$b$，套用公式后整理括号内的式子；
（4）把$16(a-b)^2$写成$[4(a-b)]^2$，$(a+b)^2$作为$b^2$，先套用平方差公式，再化简两个括号内的整式。
【解析】
（1）$16x^{4}-1$
$=(4x^2)^2 - 1^2$
$=(4x^2 + 1)(4x^2 - 1)$
$=(4x^2 + 1)(2x + 1)(2x - 1)$
（2）$(a - b)^{2}-4$
$=(a - b)^2 - 2^2$
$=(a - b + 2)(a - b - 2)$
（3）$4x^{2}-(y - z)^{2}$
$=(2x)^2 - (y - z)^2$
$=(2x + y - z)(2x - y + z)$
（4）$16(a - b)^{2}-(a + b)^{2}$
$=[4(a - b)]^2 - (a + b)^2$
$=[4(a - b) + (a + b)][4(a - b) - (a + b)]$
$=(4a - 4b + a + b)(4a - 4b - a - b)$
$=(5a - 3b)(3a - 5b)$
【答案】
(1) $(4x^2 + 1)(2x + 1)(2x - 1)$；
(2) $(a - b + 2)(a - b - 2)$；
(3) $(2x + y - z)(2x - y + z)$；
(4) $(5a - 3b)(3a - 5b)$
【知识点】
平方差公式分解因式，整体思想
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考查平方差公式的灵活应用，解题时需准确识别平方差的结构特征，学会将多项式中的整体看作一个字母运用公式，同时要注意因式分解需进行到每一个因式都不能再分解为止，培养严谨的解题习惯。
【难度系数】
0.7
14. 如图，在一块边长为$a$的正方形纸板四角，各剪去一个边长为$b$$(b＜\frac{a}{2})$的正方形，利用因式分解计算当$a = 19.9$，$b = 4.95$时，剩余部分的面积。
答案
14. 解：根据题意得剩余部分的面积$ S = a^2 - 4b^2 = (a + 2b)(a - 2b) $。
当$ a = 19.9 $，$ b = 4.95 $时，
原式$ = (19.9 + 2×4.95)(19.9 - 2×4.95) = 29.8×10 = 298 $。
答：当$ a = 19.9 $，$ b = 4.95 $时，剩余部分的面积为298。
当$ a = 19.9 $，$ b = 4.95 $时，
原式$ = (19.9 + 2×4.95)(19.9 - 2×4.95) = 29.8×10 = 298 $。
答：当$ a = 19.9 $，$ b = 4.95 $时，剩余部分的面积为298。
解析
【分析】
首先，我们需要明确剩余部分面积的计算逻辑：剩余部分的面积等于边长为$a$的大正方形面积减去四个边长为$b$的小正方形的总面积。先列出面积表达式$S=a^2-4b^2$，直接代入数值计算会涉及复杂的小数平方运算，因此我们可以利用平方差公式对表达式进行因式分解，将其转化为$(a+2b)(a-2b)$，这样代入数值后计算会更简便，能快速得到结果。同时要注意题目中$b＜\frac{a}{2}$的条件，确保剪去的小正方形是合理存在的。
【解析】
根据题意，剩余部分的面积等于大正方形面积减去四个小正方形的面积：
1. 列出面积表达式：
$S = a^2 - 4b^2$
2. 利用平方差公式因式分解：
$a^2 - 4b^2=(a + 2b)(a - 2b)$
3. 代入$a = 19.9$，$b = 4.95$计算：
$\begin{align}原式&=(19.9 + 2×4.95)(19.9 - 2×4.95)\\&=(19.9+9.9)(19.9-9.9)\\&=29.8×10\\&=298\end{align}$
答：当$a = 19.9$，$b = 4.95$时，剩余部分的面积为298。
【答案】
298
【知识点】
平方差公式因式分解，正方形面积计算
【点评】
本题考查了因式分解在实际几何问题中的应用，通过平方差公式对面积表达式进行因式分解，有效简化了小数运算，降低了计算难度。同时也考查了对几何图形面积计算的理解，需要学生能将实际问题转化为数学表达式，并灵活运用因式分解技巧解决问题。
【难度系数】
0.8
首先，我们需要明确剩余部分面积的计算逻辑：剩余部分的面积等于边长为$a$的大正方形面积减去四个边长为$b$的小正方形的总面积。先列出面积表达式$S=a^2-4b^2$，直接代入数值计算会涉及复杂的小数平方运算，因此我们可以利用平方差公式对表达式进行因式分解，将其转化为$(a+2b)(a-2b)$，这样代入数值后计算会更简便，能快速得到结果。同时要注意题目中$b＜\frac{a}{2}$的条件，确保剪去的小正方形是合理存在的。
【解析】
根据题意，剩余部分的面积等于大正方形面积减去四个小正方形的面积：
1. 列出面积表达式：
$S = a^2 - 4b^2$
2. 利用平方差公式因式分解：
$a^2 - 4b^2=(a + 2b)(a - 2b)$
3. 代入$a = 19.9$，$b = 4.95$计算：
$\begin{align}原式&=(19.9 + 2×4.95)(19.9 - 2×4.95)\\&=(19.9+9.9)(19.9-9.9)\\&=29.8×10\\&=298\end{align}$
答：当$a = 19.9$，$b = 4.95$时，剩余部分的面积为298。
【答案】
298
【知识点】
平方差公式因式分解，正方形面积计算
【点评】
本题考查了因式分解在实际几何问题中的应用，通过平方差公式对面积表达式进行因式分解，有效简化了小数运算，降低了计算难度。同时也考查了对几何图形面积计算的理解，需要学生能将实际问题转化为数学表达式，并灵活运用因式分解技巧解决问题。
【难度系数】
0.8
