12. 已知$2^{a}=3$，$2^{b}=6$，$2^{c}=12$，试探求$a$，$b$，$c$的关系。

12. 解:因为 $2^a · 2 = 6$，即 $2^{a + 1} = 2^b$，所以 $b = a + 1$。同理，$c = b + 1$，即 $c = a + 2$。所以 $2b = 2a + 2$，$a + c = 2a + 2$，所以 $a + c = 2b$。

13. 【综合与实践】在计算$2^{5}+2^{4}+2^{3}+2^{2}+2 + 1$时，小明发现除最后一个加数外，每一个加数都是下一个加数的$2$倍，于是他的做法是：
令$s = 2^{5}+2^{4}+2^{3}+2^{2}+2 + 1$，
则$2s = 2^{6}+2^{5}+2^{4}+2^{3}+2^{2}+2$，
所以$2s - s = 2^{6}-1$，
即$s = 2^{6}-1$。
仿照上述做法，计算下列各题：
(1) $3^{9}+3^{8}+3^{7}+···+3 + 1$；
(2) $5^{2n}+5^{2n - 2}+5^{2n - 4}+···+5^{4}+5^{2}$。(写出计算过程)

13. 解:(1)令 $s = 3^9 + 3^8 + 3^7 + ··· + 3 + 1$，则 $3s = 3^{10} + 3^9 + 3^8 + 3^7 + ··· + 3^2 + 3$，所以 $3s - s = 3^{10} - 1$，即 $2s = 3^{10} - 1$，所以 $s = \dfrac{3^{10} - 1}{2}$，即 $3^9 + 3^8 + 3^7 + ··· + 3 + 1 = \dfrac{3^{10} - 1}{2}$。
(2)令 $s = 5^{2n} + 5^{2n - 2} + 5^{2n - 4} + ··· + 5^4 + 5^2$，则 $5^2s = 5^{2n + 2} + 5^{2n} + 5^{2n - 2} + 5^{2n - 4} + ··· + 5^4$，所以 $5^2s - s = 5^{2n + 2} - 5^2$，所以 $24s = 5^{2n + 2} - 5^2$，
![img alt=图片编号或题号(图片的具体编号或者所属题目的题号)]
所以 $s = \dfrac{5^{2n + 2} - 5^2}{24} = \dfrac{5^{2n + 2} - 25}{24}$，即 $5^{2n} + 5^{2n - 2} + 5^{2n - 4} + ··· + 5^4 + 5^2 = \dfrac{5^{2n + 2} - 25}{24}$。

1. 幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，即$(a^{m})^{n}=$($m$，$n$都是正整数)。
推广：$[(a^{m})^{n}]^{p}=$($m$，$n$，$p$都是正整数)。

1. $ a^{mn} $ $ a^{mnp} $