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1. 下列关系式中，$ y $不是$ x $的函数的是()
A.$ |y| = x $
B.$ y = -0.5x $
C.$ y = x^2 $
D.$ y = \frac{1}{x} $
A.$ |y| = x $
B.$ y = -0.5x $
C.$ y = x^2 $
D.$ y = \frac{1}{x} $
答案
A
解析
函数的概念要求对于每一个确定的$x$值，$y$都有唯一确定的值与其对应。
在选项A中，对于$x＞0$，比如$x = 1$，$y$可以是$1$或者$-1$，即给定一个$x$值，$y$有两个值与之对应，不满足函数定义中$y$的唯一性。
选项B中，对于任意给定的$x$值，$y=-0.5x$都有唯一确定的值；选项C中，对于任意给定的$x$值，$y = x^2$都有唯一确定的值；选项D中，对于任意给定的非零$x$值，$y=\frac{1}{x}$都有唯一确定的值。
在选项A中，对于$x＞0$，比如$x = 1$，$y$可以是$1$或者$-1$，即给定一个$x$值，$y$有两个值与之对应，不满足函数定义中$y$的唯一性。
选项B中，对于任意给定的$x$值，$y=-0.5x$都有唯一确定的值；选项C中，对于任意给定的$x$值，$y = x^2$都有唯一确定的值；选项D中，对于任意给定的非零$x$值，$y=\frac{1}{x}$都有唯一确定的值。
2. 函数$ y = \sqrt{2x - 4} $中，自变量$ x $的取值范围是()
A.$ x ≠ 2 $
B.$ x ＞ 2 $
C.$ x ≥ 2 $
D.$ x ≤ 2 $
A.$ x ≠ 2 $
B.$ x ＞ 2 $
C.$ x ≥ 2 $
D.$ x ≤ 2 $
答案
C
解析
根据二次根式的性质，被开方数必须大于或等于零，即：
$2x - 4 ≥ 0$
解这个不等式，得到：
$2x ≥ 4$
$x ≥ 2$
所以自变量 $x$ 的取值范围是 $x ≥ 2$。
$2x - 4 ≥ 0$
解这个不等式，得到：
$2x ≥ 4$
$x ≥ 2$
所以自变量 $x$ 的取值范围是 $x ≥ 2$。
3. 若函数$ y = \begin{cases}x^2 + 2(x ≤ 2) \\ 2x(x ＞ 2)\end{cases}$，则当函数值$ y = 8 $时，自变量$ x $的值是( )
A.$ \pm \sqrt{6} $
B.$ 4 $
C.$ \pm \sqrt{6} $或$ 4 $
D.$ 4 $或$ -\sqrt{6} $
A.$ \pm \sqrt{6} $
B.$ 4 $
C.$ \pm \sqrt{6} $或$ 4 $
D.$ 4 $或$ -\sqrt{6} $
答案
D
解析
本题可根据分段函数的不同定义域分别求解$y = 8$时$x$的值，再根据定义域对所得的值进行检验。
当$x≤2$时：
此时函数表达式为$y = x^2 + 2$，当$y = 8$时，可得方程$x^2 + 2 = 8$，移项可得$x^2 = 6$，两边同时开平方，解得$x = \pm\sqrt{6}$。
因为$x≤2$，而$\sqrt{6}\approx2.45＞2$，所以$x = \sqrt{6}$不符合条件，舍去；$-\sqrt{6}\approx - 2.45＜2$，所以$x = -\sqrt{6}$符合条件。
当$x＞2$时：
此时函数表达式为$y = 2x$，当$y = 8$时，可得方程$2x = 8$，两边同时除以$2$，解得$x = 4$。
因为$4＞2$，所以$x = 4$符合条件。
综上，$x$的值为$4$或$-\sqrt{6}$。
当$x≤2$时：
此时函数表达式为$y = x^2 + 2$，当$y = 8$时，可得方程$x^2 + 2 = 8$，移项可得$x^2 = 6$，两边同时开平方，解得$x = \pm\sqrt{6}$。
因为$x≤2$，而$\sqrt{6}\approx2.45＞2$，所以$x = \sqrt{6}$不符合条件，舍去；$-\sqrt{6}\approx - 2.45＜2$，所以$x = -\sqrt{6}$符合条件。
当$x＞2$时：
此时函数表达式为$y = 2x$，当$y = 8$时，可得方程$2x = 8$，两边同时除以$2$，解得$x = 4$。
因为$4＞2$，所以$x = 4$符合条件。
综上，$x$的值为$4$或$-\sqrt{6}$。
4. 求下列函数中自变量$ x $的取值范围。
（1）$ y = 3x - 1 $；
（2）$ y = \sqrt{x - 2} + \frac{1}{x - 3} $；
（3）$ y = \frac{(x - 1)^0}{2} $。
（1）$ y = 3x - 1 $；
（2）$ y = \sqrt{x - 2} + \frac{1}{x - 3} $；
（3）$ y = \frac{(x - 1)^0}{2} $。
答案
（1）$x$为全体实数（或$x \in \mathbb{R}$）。
（2）由$x - 2 ≥ 0$，得$x ≥ 2$，由$x - 3 ≠ 0$，得$x ≠ 3$，综上所述，$x$的取值范围是$x ≥ 2$且$x ≠ 3$。
（3）由$x - 1≠ 0$（因为0的0次方没有意义），得$x ≠ 1$，所以$x$的取值范围是$x ≠ 1$的所有实数。
（2）由$x - 2 ≥ 0$，得$x ≥ 2$，由$x - 3 ≠ 0$，得$x ≠ 3$，综上所述，$x$的取值范围是$x ≥ 2$且$x ≠ 3$。
（3）由$x - 1≠ 0$（因为0的0次方没有意义），得$x ≠ 1$，所以$x$的取值范围是$x ≠ 1$的所有实数。
5. 若点$ P(x, y) $在第三象限，且$ |x| = 2 $，$ y^2 = 9 $，则$ x + y = $()
A.$ -1 $
B.$ 1 $
C.$ -5 $
D.$ 5 $
A.$ -1 $
B.$ 1 $
C.$ -5 $
D.$ 5 $
答案
C
解析
1. 已知点 $ P(x, y) $ 在第三象限，因此 $ x ＜ 0 $，$ y ＜ 0 $。
2. 由 $ |x| = 2 $，得 $ x = \pm 2 $，但 $ x ＜ 0 $，所以 $ x = -2 $。
3. 由 $ y^2 = 9 $，得 $ y = \pm 3 $，但 $ y ＜ 0 $，所以 $ y = -3 $。
4. 因此 $ x + y = -2 + (-3) = -5 $。
6. 已知点$ M(3, 1) $、$ N(a, a + 3) $，若直线$ MN $与$ y $轴平行，则线段$ MN $的长为。
答案
5
解析
已知点$ M(3, 1) $和点$ N(a, a + 3) $，若直线$ MN $与$ y $轴平行，则两点的横坐标相同，即$ a = 3 $。
将$ a = 3 $代入$ N(a, a + 3) $，得到$ N(3, 6) $。
线段$ MN $的长度为两点纵坐标之差的绝对值，即$ |6 - 1| = 5 $。
将$ a = 3 $代入$ N(a, a + 3) $，得到$ N(3, 6) $。
线段$ MN $的长度为两点纵坐标之差的绝对值，即$ |6 - 1| = 5 $。
7. 如果$ P(2m + 3, -m + 4) $在$ x $轴上，那么点$ P $的坐标是。
答案
$(11,0)$
解析
根据题意，点$P(2m + 3, -m + 4)$在$x$轴上，因此其纵坐标为0。
列方程：$-m + 4 = 0$，解得$m = 4$。
将$m = 4$代入横坐标表达式：$2m + 3 = 2 × 4 + 3 = 11$。
故点$P$的坐标为$(11, 0)$。
8. 下列函数中，是正比例函数的是()
A.$ y = 2x $
B.$ y = \frac{1}{2x} $
C.$ y = x^2 $
D.$ y = 2x - 1 $
A.$ y = 2x $
B.$ y = \frac{1}{2x} $
C.$ y = x^2 $
D.$ y = 2x - 1 $
答案
A
解析
正比例函数的一般形式为$y=kx$（$k$为常数，$k≠0$，$x$的次数为$1$）。
选项A：$y = 2x$，符合正比例函数的一般形式，其中$k = 2$，是正比例函数。
选项B：$y=\frac{1}{2x}=\frac{1}{2}x^{-1}$，自变量$x$的次数是$-1$，不符合正比例函数的形式，不是正比例函数。
选项C：$y = x^2$，自变量$x$的次数是$2$，不符合正比例函数的形式，不是正比例函数。
选项D：$y = 2x - 1$，是一次函数，不是正比例函数（正比例函数是特殊的一次函数，常数项为$0$）。
选项A：$y = 2x$，符合正比例函数的一般形式，其中$k = 2$，是正比例函数。
选项B：$y=\frac{1}{2x}=\frac{1}{2}x^{-1}$，自变量$x$的次数是$-1$，不符合正比例函数的形式，不是正比例函数。
选项C：$y = x^2$，自变量$x$的次数是$2$，不符合正比例函数的形式，不是正比例函数。
选项D：$y = 2x - 1$，是一次函数，不是正比例函数（正比例函数是特殊的一次函数，常数项为$0$）。
9. 已知一次函数$ y = -3x - 6 $，当自变量$ x $增加$ 1 $时，函数值()
A.增加$ 3 $
B.减少$ 3 $
C.增加$ 1 $
D.减少$ 1 $
A.增加$ 3 $
B.减少$ 3 $
C.增加$ 1 $
D.减少$ 1 $
答案
B
解析
设原自变量为$x$时，函数值为$y_1 = -3x - 6$。
当自变量增加$1$，即变为$x+1$时，函数值为：
$y_2 = -3(x+1) - 6 = -3x -3 - 6 = -3x - 9$，
函数值的变化量为：
$\Delta y = y_2 - y_1 = (-3x - 9) - (-3x - 6) = -3$，
即当自变量$x$增加$1$时，函数值减少$3$。
当自变量增加$1$，即变为$x+1$时，函数值为：
$y_2 = -3(x+1) - 6 = -3x -3 - 6 = -3x - 9$，
函数值的变化量为：
$\Delta y = y_2 - y_1 = (-3x - 9) - (-3x - 6) = -3$，
即当自变量$x$增加$1$时，函数值减少$3$。
10. 已知点$ A(-1, y_1) $、$ B(3, y_2) $在一次函数$ y = -x + 2 $的图象上，则$ y_1 $、$ y_2 $的大小关系是。
答案
y₁ ＞ y₂
解析
将点A(-1, y₁)代入y = -x + 2，得y₁ = -(-1) + 2 = 3；将点B(3, y₂)代入y = -x + 2，得y₂ = -3 + 2 = -1。因为3 ＞ -1，所以y₁ ＞ y₂。
11. 在平面直角坐标系$ xOy $中，一次函数$ y = x + 2 $的图象与$ x $轴交于点$ A $，与$ y $轴交于点$ B $。
（1）求点$ A $、$ B $的坐标；
（2）画出该函数的图象；
（3）当$ 0 ＜ y ＜ 3 $时，直接写出$ x $的取值范围。
（1）求点$ A $、$ B $的坐标；
（2）画出该函数的图象；
（3）当$ 0 ＜ y ＜ 3 $时，直接写出$ x $的取值范围。
答案
（1）
对于$y = x + 2$，
当$y = 0$时，$x + 2 = 0$，解得$x = -2$，所以$A(-2, 0)$；
当$x = 0$时，$y = 0 + 2 = 2$，所以$B(0, 2)$。
（2）
函数图象为一条直线，经过点$A(-2, 0)$和点$B(0, 2)$（图略）。
（3）
由$0 ＜ y ＜ 3$，即$0 ＜ x + 2 ＜ 3$，
解得：$-2 ＜ x ＜ 1$。
对于$y = x + 2$，
当$y = 0$时，$x + 2 = 0$，解得$x = -2$，所以$A(-2, 0)$；
当$x = 0$时，$y = 0 + 2 = 2$，所以$B(0, 2)$。
（2）
函数图象为一条直线，经过点$A(-2, 0)$和点$B(0, 2)$（图略）。
（3）
由$0 ＜ y ＜ 3$，即$0 ＜ x + 2 ＜ 3$，
解得：$-2 ＜ x ＜ 1$。
