19. 提升题 如图①，$P$是等边三角形$ABC$内一点，已知$PA = 3$，$PB = 4$，$PC = 5$，求$∠ APB$的度数。
小明的思路：要直接求$∠ APB$的度数显然很困难，注意到条件中的三边长恰好是一组勾股数，因此考虑借助旋转把这三边集中到一个三角形内。如图②，作$∠ PAD = 60^{\circ}$，使$AD = AP$，连接$PD$，$CD$，则$△ PAD$是等边三角形……
(1) 请你顺着小明的思路，完成求$∠ APB$的度数的过程；
(2) 如图③，$P$是等边三角形$ABC$外一点，已知$PA = 5$，$PB = 12$，$PC = 13$，求$∠ APB$的度数。

(1)150°；(2)30°。

(1)
∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°。
作∠PAD=60°，AD=AP，连接PD，CD，则△PAD为等边三角形，∴PD=AP=3，∠APD=60°。
∵∠BAP+∠PAC=60°，∠CAD+∠PAC=60°，∴∠BAP=∠CAD。
在△APB和△ADC中，AB=AC，∠BAP=∠CAD，AP=AD，∴△APB≌△ADC(SAS)，∴DC=PB=4。
在△PDC中，PD=3，DC=4，PC=5，∵3²+4²=5²，∴△PDC为直角三角形，∠PDC=90°。
∵∠ADC=∠ADP+∠PDC=60°+90°=150°，且△APB≌△ADC，∴∠APB=∠ADC=150°。
(2)
将△APB绕点B顺时针旋转60°得△CQB，连接PQ。
∵△ABC为等边三角形，∴BA=BC，∠ABC=60°，∴BQ=BP=12，CQ=AP=5，∠PBQ=60°，∴△PBQ为等边三角形，∴PQ=PB=12，∠BQP=60°。
在△PQC中，PQ=12，CQ=5，PC=13，∵5²+12²=13²，∴△PQC为直角三角形，∠PQC=90°。
∴∠CQB=∠PQC-∠BQP=90°-60°=30°，∵△APB≌△CQB，∴∠APB=∠CQB=30°。