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1. 下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是()
A.$x^{2}-4+6x=(x+2)(x-2)+6x$
B.$x^{2}-8x+16=(x-4)^{2}$
C.$(x+3)(x-2)=x^{2}+x-6$
D.$6ab=2a· 3b$
A.$x^{2}-4+6x=(x+2)(x-2)+6x$
B.$x^{2}-8x+16=(x-4)^{2}$
C.$(x+3)(x-2)=x^{2}+x-6$
D.$6ab=2a· 3b$
答案
B
解析
因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，据此对各选项逐一分析：
选项A：$x^{2}-4 + 6x=(x + 2)(x - 2)+6x$，等式右边并不是几个整式的积的形式，所以该变形不属于因式分解。
选项B：$x^{2}-8x + 16=(x - 4)^{2}$，将多项式$x^{2}-8x + 16$化成了$(x - 4)$与$(x - 4)$相乘的形式，属于因式分解。
选项C：$(x + 3)(x - 2)=x^{2}+x - 6$，是从整式的积到多项式的变形，属于整式乘法，不属于因式分解。
选项D：$6ab$是单项式，单项式已经是积的形式，$6ab = 2a·3b$不属于因式分解。
选项A：$x^{2}-4 + 6x=(x + 2)(x - 2)+6x$，等式右边并不是几个整式的积的形式，所以该变形不属于因式分解。
选项B：$x^{2}-8x + 16=(x - 4)^{2}$，将多项式$x^{2}-8x + 16$化成了$(x - 4)$与$(x - 4)$相乘的形式，属于因式分解。
选项C：$(x + 3)(x - 2)=x^{2}+x - 6$，是从整式的积到多项式的变形，属于整式乘法，不属于因式分解。
选项D：$6ab$是单项式，单项式已经是积的形式，$6ab = 2a·3b$不属于因式分解。
2. 若多项式 $x^{2}+mx-8$ 因式分解的结果为 $(x+4)(x-2)$，则常数 $m$ 的值为()
A.$-2$
B.$2$
C.$-6$
D.$6$
A.$-2$
B.$2$
C.$-6$
D.$6$
答案
B
解析
将 $(x + 4)(x - 2)$ 展开，得：$(x + 4)(x - 2) = x^2 - 2x + 4x - 8 = x^2 + 2x - 8$，
因为 $x^2 + mx - 8 =x^2 + 2x - 8$，
所以 $m = 2$。
因为 $x^2 + mx - 8 =x^2 + 2x - 8$，
所以 $m = 2$。
3. 若 $4x^{2}+mx+1=(2x-1)^{2}$ 成立，有下列说法：①从左到右的变形是因式分解；②从左到右的变形是整式乘法；③$m=4$。其中正确的说法是()
A.①
B.②
C.③
D.①③
A.①
B.②
C.③
D.①③
答案
A
解析
$(2x-1)^2=4x^2-4x+1$，对比$4x^2+mx+1$，得$m=-4$，③错误；从左到右是将多项式化为整式积的形式，是因式分解，①正确，②错误。
4. 因式分解 $x^{2}+mx-12=(x+2)(x+n)$，其中 $m$，$n$ 都为整数，则 $m$ 的值是()
A.$-6$
B.$-5$
C.$-4$
D.$4$
A.$-6$
B.$-5$
C.$-4$
D.$4$
答案
C
解析
将右边展开：$(x+2)(x+n)=x^2+(n+2)x+2n$。对比左边$x^2+mx-12$，可得$2n=-12$，解得$n=-6$。则$m=n+2=-6+2=-4$。
5. 若多项式 $x^{2}-x+a$ 可分解为 $(x+1)·(x-2)$，则 $a$ 的值为。
答案
-2
解析
因为多项式$x^{2}-x+a$可分解为$(x + 1)(x - 2)$，将$(x + 1)(x - 2)$展开得$x^{2}-2x+x-2=x^{2}-x-2$，所以$a=-2$。
6. 根据下面的拼图，写出一个多项式因式分解的过程：。
答案
左边四个图形面积之和：$x · x + x · 2 + 4 · x + 4 · 2 = x^2 + 2x + 4x + 8 = x^2 + 6x + 8$
右边大长方形的长为$x + 4$，宽为$x + 2$，面积为$(x + 2)(x + 4)$
因此，$x^2 + 6x + 8 = (x + 2)(x + 4)$
右边大长方形的长为$x + 4$，宽为$x + 2$，面积为$(x + 2)(x + 4)$
因此，$x^2 + 6x + 8 = (x + 2)(x + 4)$
7. 提升题 仔细阅读下面例题：
例题：已知二次三项式 $x^{2}-4x+m$ 有一个因式是 $x+3$，求另一个因式以及 $m$ 的值。
解：设另一个因式为 $x+n$，
则 $x^{2}-4x+m=(x+3)(x+n)$，
即 $x^{2}-4x+m=x^{2}+(n+3)x+3n$。
$\therefore\begin{cases}n+3=-4,\\3n=m。\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}m=-21,\\n=-7。\end{cases}$
故另一个因式为 $x-7$，$m$ 的值为 $-21$。
仿照上面的方法解答问题：已知二次三项式 $x^{2}+3x-k$ 有一个因式是 $x-5$，求另一个因式以及 $k$ 的值。
例题：已知二次三项式 $x^{2}-4x+m$ 有一个因式是 $x+3$，求另一个因式以及 $m$ 的值。
解：设另一个因式为 $x+n$，
则 $x^{2}-4x+m=(x+3)(x+n)$，
即 $x^{2}-4x+m=x^{2}+(n+3)x+3n$。
$\therefore\begin{cases}n+3=-4,\\3n=m。\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}m=-21,\\n=-7。\end{cases}$
故另一个因式为 $x-7$，$m$ 的值为 $-21$。
仿照上面的方法解答问题：已知二次三项式 $x^{2}+3x-k$ 有一个因式是 $x-5$，求另一个因式以及 $k$ 的值。
答案
设另一个因式为 $x + a$，
则 $x^{2} + 3x - k = (x - 5)(x + a)$，
即 $x^{2} + 3x - k = x^{2} + (a - 5)x - 5a$。
$\therefore\begin{cases}a - 5 = 3,\\-5a = -k。\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a = 8,\\k = 40。\end{cases}$
故另一个因式为 $x + 8$，$k$ 的值为 $40$。
则 $x^{2} + 3x - k = (x - 5)(x + a)$，
即 $x^{2} + 3x - k = x^{2} + (a - 5)x - 5a$。
$\therefore\begin{cases}a - 5 = 3,\\-5a = -k。\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a = 8,\\k = 40。\end{cases}$
故另一个因式为 $x + 8$，$k$ 的值为 $40$。
