例 一箱桃子有 20 多个: 每 6 个装 1 盒, 还剩余 5 个; 每 8 个装 1 盒, 也剩余 5 个。这箱桃子有多少个?

6和8的最小公倍数是24。
24+5=29（个）
答：这箱桃子有29个。

一、某小学六年级学生人数超过了 100 人, 但不足 140 人。按每组 12 人分组, 多 3 人;按每组 8 人分组, 也多 3 人。该小学六年级有学生多少人?

1. 先求12和8的最小公倍数：
$12 = 2×2×3$，$8 = 2×2×2$。
所以12和8的最小公倍数为$2×2×2×3 = 24$。
2. 再找出符合人数范围（100 - 140）的12和8的公倍数：
因为$24×4 = 96$，$24×5 = 120$，$24×6 = 144$，所以在100 - 140之间，12和8的公倍数是120。
3. 最后求六年级学生人数：
由于按每组12人或每组8人分组都多3人，所以六年级学生人数为$120 + 3=123$人。
答：该小学六年级有学生123人。

二、李老师要把 35 支圆珠笔和 44 本练习本平均奖给六 (1) 班参加校园书画大赛的学生, 结果圆珠笔缺 1 支, 练习本多 2 本。六 (1) 班参加校园书画大赛的学生最多有多少人?

35+1=36（支）
44-2=42（本）
36=2×2×3×3
42=2×3×7
36和42的最大公因数是2×3=6
答：六(1)班参加校园书画大赛的学生最多有6人。

三、有一箱苹果, 每次取 3 个正好取完, 每次取 5 个则少 3 个, 每次取 7 个则多 4 个。这箱苹果至少有多少个?

设这箱苹果有$x$个。
根据条件可列出方程：
$x≡0\pmod{3}$；
$x≡2\pmod{5}$（因为每次取5个少3个，即余数为$5 - 3=2$）；
$x≡4\pmod{7}$。
先考虑前两个同余式：
令$x = 3k$，$k$为整数，代入第二个同余式$3k≡2\pmod{5}$。
因为$3×2 = 6≡1\pmod{5}$，$3×4 = 12≡2\pmod{5}$，所以$k≡4\pmod{5}$，则$k = 5m + 4$，$m$为整数。
那么$x = 3(5m + 4)=15m+12$。
再将$x = 15m + 12$代入$x≡4\pmod{7}$，可得$15m+12≡4\pmod{7}$。
因为$15≡1\pmod{7}$，$12≡5\pmod{7}$，所以$m + 5≡4\pmod{7}$，即$m≡ - 1≡6\pmod{7}$。
那么$m = 7n+6$，$n$为整数。
把$m = 7n + 6$代入$x = 15m+12$得：
$x=15(7n + 6)+12=105n+90 + 12=105n+102$。
当$n = 0$时，$x$取得最小值$102$。
答：这箱苹果至少有$102$个。

四、100 m 跑道的一边每隔 4 m 插有 1 面小旗 (两端都插 ), 现改为每隔 5 m 插 1 面小旗。一共有几面小旗不必移动?

由于原来每隔4米插一面小旗，现在改为每隔5米插一面小旗，
所以不必移动的小旗位置应该是4和5的公倍数处。
4和5的最小公倍数为：$lcm(4,5)=20$，
100米跑道中，20的倍数位置有：$0, 20, 40, 60, 80, 100$，
由于两端都插小旗，所以这些位置上的小旗不必移动，包括起点和终点，
因此，不必移动的小旗数量为：$ \frac{100}{20} + 1 = 6$（面）。
答：一共有6面小旗不必移动。

答题卡