登录
一、填空题。
1. 最小的质数是()，最小的合数是()，()既不是质数，也不是合数。
1. 最小的质数是()，最小的合数是()，()既不是质数，也不是合数。
答案
$2$；$4$；$1$
解析
质数指在大于$1$的自然数中，除了$1$和它自身外，不能被其他自然数整除的数，所以最小的质数是$2$；合数指自然数中除了能被$1$和本身整除外，还能被其他数（$0$除外）整除的数，所以最小的合数是$4$；$1$只能被$1$整除，不符合质数与合数的定义，所以$1$既不是质数也不是合数。
2. $ a = 2×3×3 $，$ b = 2×2×3×5 $，$ a $，$ b $的最大公因数是()，最小公倍数是()。
答案
最大公因数填6；最小公倍数填180。
解析
本题可根据最大公因数和最小公倍数的定义，通过分析$a$、$b$的质因数分解式来求解。
最大公因数是把两个数的公有质因数相乘；最小公倍数是把这两个数的公有质因数和各自独有质因数相乘。
求最大公因数：
已知$a = 2×3×3$，$b = 2×2×3×5$，$a$和$b$公有的质因数是$2$和$3$，将公有质因数相乘可得最大公因数为：$2×3 = 6$。
求最小公倍数：
$a$和$b$公有的质因数是$2$和$3$，$a$独有的质因数是$3$，$b$独有的质因数是$2$和$5$，把公有质因数和各自独有质因数相乘可得最小公倍数为：$2×3×3×2×5 = 180$。
最大公因数是把两个数的公有质因数相乘；最小公倍数是把这两个数的公有质因数和各自独有质因数相乘。
求最大公因数：
已知$a = 2×3×3$，$b = 2×2×3×5$，$a$和$b$公有的质因数是$2$和$3$，将公有质因数相乘可得最大公因数为：$2×3 = 6$。
求最小公倍数：
$a$和$b$公有的质因数是$2$和$3$，$a$独有的质因数是$3$，$b$独有的质因数是$2$和$5$，把公有质因数和各自独有质因数相乘可得最小公倍数为：$2×3×3×2×5 = 180$。
3. 三个连续奇数的和是 141，这三个奇数分别是()，()，()。
答案
45，47，49
解析
设中间的奇数为x，则前一个奇数为x-2，后一个奇数为x+2。根据题意可得方程：(x-2)+x+(x+2)=141，3x=141，x=47。所以这三个奇数分别是47-2=45，47，47+2=49。
4. 一个两位质数，个位上的数与十位上的数的和是 10，积是 21，这个数是()或()。
答案
73；37
解析
设这个两位数的十位数字为a，个位数字为b。
根据题意，a + b = 10，a × b = 21；
列出可能的组合：
1和9：1×9=9（不符合）；
2和8：2×8=16（不符合）；
3和7：3×7=21（符合）；
4和6：4×6=24（不符合）；
5和5：5×5=25（不符合）；
所以这个两位数是73或者37，验证73和37是否为质数，它们都只能被1和自身整除，所以都是质数。
根据题意，a + b = 10，a × b = 21；
列出可能的组合：
1和9：1×9=9（不符合）；
2和8：2×8=16（不符合）；
3和7：3×7=21（符合）；
4和6：4×6=24（不符合）；
5和5：5×5=25（不符合）；
所以这个两位数是73或者37，验证73和37是否为质数，它们都只能被1和自身整除，所以都是质数。
5. 三位数 $ 77 □ $，是 3 的倍数也是 2 的倍数，$ □ $代表数字()。
答案
4
解析
三位数$77□$既是3的倍数，也是2的倍数，说明它既要满足是2的倍数的条件，也要满足是3的倍数的条件。
一个数是2的倍数，个位数字必须是0、2、4、6、8；
一个数是3的倍数，各位数字之和必须是3的倍数。
设方框中的数字为$x$，则$7 + 7 + x = 14 + x$需要是3的倍数，且$x$为偶数。
$14 + x$是3的倍数，则$x$可以取1、4、7，但$x$需要是偶数，因此$x=4$。
一个数是2的倍数，个位数字必须是0、2、4、6、8；
一个数是3的倍数，各位数字之和必须是3的倍数。
设方框中的数字为$x$，则$7 + 7 + x = 14 + x$需要是3的倍数，且$x$为偶数。
$14 + x$是3的倍数，则$x$可以取1、4、7，但$x$需要是偶数，因此$x=4$。
二、选择题。
1. 如果 $ S $ 是 $ 1 ∼ 9 $ 中的任意一个自然数，$ H $ 等于 0，那么同时是 2，5，3 的倍数的数是()。
A.$ \overline{SHSHS} $
B.$ \overline{SHSSH} $
C.$ \overline{SHHSH} $
D.$ \overline{SHSHH} $
1. 如果 $ S $ 是 $ 1 ∼ 9 $ 中的任意一个自然数，$ H $ 等于 0，那么同时是 2，5，3 的倍数的数是()。
A.$ \overline{SHSHS} $
B.$ \overline{SHSSH} $
C.$ \overline{SHHSH} $
D.$ \overline{SHSHH} $
答案
B
解析
同时是2、5的倍数，个位必须是0，即H。选项中个位是H的有B、C、D。再看是否是3的倍数，需各位数字之和是3的倍数。设S为1-9自然数，H=0。
B选项：S+H+S+S+H=3S，3S是3的倍数，符合。
C选项：S+H+H+S+H=2S，2S不一定是3的倍数。
D选项：S+H+S+H+H=2S，2S不一定是3的倍数。
故B符合条件。
B选项：S+H+S+S+H=3S，3S是3的倍数，符合。
C选项：S+H+H+S+H=2S，2S不一定是3的倍数。
D选项：S+H+S+H+H=2S，2S不一定是3的倍数。
故B符合条件。
2. 甲、乙两个数的最大公因数是 6，最小公倍数是 60，甲数是 30，乙数是()。
A.12
B.30
C.60
D.180
A.12
B.30
C.60
D.180
答案
A
解析
根据两个数的乘积等于它们的最大公因数与最小公倍数的乘积，设甲数为$a=30$，乙数为$b$，则有$a× b = 6× 60$，所以$b=(6× 60)÷30 = 12$。
三、解决问题。
1. 某学校选派一些学生去参加体操比赛，其中男生有 48 人，女生有 36 人。男、女生分别站成若干排，要使每排站的人数相同，每排最多站多少人？这时男、女生分别站了几排？
1. 某学校选派一些学生去参加体操比赛，其中男生有 48 人，女生有 36 人。男、女生分别站成若干排，要使每排站的人数相同，每排最多站多少人？这时男、女生分别站了几排？
答案
$48$和$36$的最大公因数：
$48=2× 2× 2× 2× 3$，
$36 = 2× 2× 3× 3$，
最大公因数为$2× 2× 3 = 12$。
男生排数：$48÷12 = 4$（排）。
女生排数：$36÷12 = 3$（排）。
答：每排最多站$12$人，这时男生站$4$排，女生站$3$排。
$48=2× 2× 2× 2× 3$，
$36 = 2× 2× 3× 3$，
最大公因数为$2× 2× 3 = 12$。
男生排数：$48÷12 = 4$（排）。
女生排数：$36÷12 = 3$（排）。
答：每排最多站$12$人，这时男生站$4$排，女生站$3$排。
2. 用一种长 $ 24 \mathrm{cm} $、宽 $ 16 \mathrm{cm} $ 的长方形地砖铺一个正方形，至少需要多少块？
答案
解题过程如下：
求24和16的最小公倍数对应的正方形边长，先求24和16的最小公倍数。
$24=2×2×2×3$，
$16=2×2×2×2$。
所以24和16的最小公倍数为$2×2×2×2×3=48$，即正方形边长为48cm。
正方形面积为：
$48×48 = 2304$（$cm^2$）。
长方形地砖面积为：
$24×16 = 384$（$cm^2$）。
则需要地砖数量为：
$2304÷384 = 6$（块）。
综上，至少需要6块地砖。
求24和16的最小公倍数对应的正方形边长，先求24和16的最小公倍数。
$24=2×2×2×3$，
$16=2×2×2×2$。
所以24和16的最小公倍数为$2×2×2×2×3=48$，即正方形边长为48cm。
正方形面积为：
$48×48 = 2304$（$cm^2$）。
长方形地砖面积为：
$24×16 = 384$（$cm^2$）。
则需要地砖数量为：
$2304÷384 = 6$（块）。
综上，至少需要6块地砖。
四、【拓展题】
刘聪是一名六年级学生，他参加了学校的演讲比赛，同学问他：“你这次演讲比赛得了多少分？获得了第几名？”刘聪说：“我的分数、名次和年龄都是质数，它们的乘积是 2134。”你知道刘聪的分数和名次各是多少吗？
刘聪是一名六年级学生，他参加了学校的演讲比赛，同学问他：“你这次演讲比赛得了多少分？获得了第几名？”刘聪说：“我的分数、名次和年龄都是质数，它们的乘积是 2134。”你知道刘聪的分数和名次各是多少吗？
答案
对2134分解质因数，2134÷2 = 1067，1067÷11 = 97，97是质数，质因数分解结果为$2134 = 2×11×97$。
因为刘聪是六年级学生，年龄在12左右，符合条件的质数是11或13（近似）等，这里2134质因数中有11，所以年龄是11 +（或合理推测年龄用质数11表示 ）11岁（一般六年级学生年龄在12左右，结合质数，此处年龄取11岁较合理 ）。
名次通常数值较小，所以名次是2名。
分数就是97分。
答：刘聪的分数是97分，名次是第2名。
因为刘聪是六年级学生，年龄在12左右，符合条件的质数是11或13（近似）等，这里2134质因数中有11，所以年龄是11 +（或合理推测年龄用质数11表示 ）11岁（一般六年级学生年龄在12左右，结合质数，此处年龄取11岁较合理 ）。
名次通常数值较小，所以名次是2名。
分数就是97分。
答：刘聪的分数是97分，名次是第2名。
