2. 由计算可知，有 $ \frac{1}{2}＜\frac{2}{3}, $ $ \frac{2}{3}＜\frac{3}{4}, $ $ \frac{3}{4}＜\frac{4}{5}, $ ...。
(1) 结合上述不等式，当 0＜a＜b时，猜想 $ \frac{a}{b} $与 $ \frac{a+1}{b+1} $的大小关系，并证明你的猜想。
(2) 当 a ＜ b ＜ 0时， $ \frac{a}{b} $与 $ \frac{a+1}{b+1} $的大小关系是否发生改变？结合（1）中的证明，说明你的结论。

2. 解：(1) $\frac{a+1}{b+1}＞\frac{a}{b}$。
证明：$\frac{a+1}{b+1}-\frac{a}{b}=\frac{b(a+1)}{b(b+1)}-\frac{a(b+1)}{b(b+1)}=\frac{ab+b-ab-a}{b(b+1)}=\frac{b-a}{b(b+1)}$。
$\because0＜a＜b$，$\therefore\frac{b-a}{b(b+1)}＞0$。$\therefore\frac{a+1}{b+1}＞\frac{a}{b}$。
(2) $\because a＜b＜0$，$\therefore b-a＞0$。
①当 $b+1＞0$，即 $b＞-1$ 时，$\frac{b-a}{b(b+1)}＜0$，即此时 $\frac{a+1}{b+1}＜\frac{a}{b}$；
②当 $b+1＜0$，即 $b＜-1$ 时，$\frac{b-a}{b(b+1)}＞0$，即此时 $\frac{a+1}{b+1}＞\frac{a}{b}$。
综上所述，当 $b＜-1$ 时，$\frac{a+1}{b+1}＞\frac{a}{b}$；当 $-1＜b＜0$ 时，$\frac{a+1}{b+1}＜\frac{a}{b}$。

3. 定义：若分式 A与分式 B的差等于它们的积，即 A-B=AB，则称分式 B是分式 A的 “友好分式”。如 $ \frac{1}{x+1} $与 $ \frac{1}{x+2} $ ，因为 $ \frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}=\frac{1}{(x+1)(x+2)} $ $ \frac{1}{x+1}· \frac{1}{x+2}= $ $ \frac{1}{(x+1)(x+2)} $ ，所以 $ \frac{1}{x+2} $是 $ \frac{1}{x+1} $的“友好分式”。
(1) 分式 $ \frac{1}{x+4} $ ___分式 $ \frac{1}{x+3} $的“友好分式”。（填“是”或“不是”）
(2) 已知分式 $ \frac{2x+2}{3x+2} $是分式 A的“友好分式”。
$ \textcircled{1} $求分式 A；
$ \textcircled{2} $若整数 x使得分式 A的值是正整数，求分式 A的值。

3. 解：(1) 是
(2) ①设分式 $B=\frac{2x+2}{3x+2}=\frac{2(x+1)}{3x+2}$。
$\therefore A-B=AB$，
$\therefore A-AB=B$。
$\therefore A(1-B)=B$。
$\therefore A=\frac{B}{1-B}$。
$\because1-B=1-\frac{2(x+1)}{3x+2}=\frac{3x+2}{3x+2}-\frac{2(x+1)}{3x+2}=\frac{x}{3x+2}$，
$\therefore A=\frac{\frac{2(x+1)}{3x+2}}{\frac{x}{3x+2}}=\frac{2(x+1)}{3x+2}·\frac{3x+2}{x}=\frac{2(x+1)}{x}$。
②$\because A=\frac{2(x+1)}{x}$，要求 $A$ 为正整数，$x$ 为整数且 $x≠0$，
令 $k=A$（$k$ 为正整数），则 $\frac{2(x+1)}{x}=k$，
$\therefore2x+2=kx$。$\therefore(k-2)x=2$。$\therefore x=\frac{2}{k-2}$。
由条件可知 $k-2=\pm1,\pm2$。
当 $k-2=1$ 时，$k=3$，$x=2$，$A=3$；
当 $k-2=2$ 时，$k=4$，$x=1$，$A=4$；
当 $k-2=-1$ 时，$k=1$，$x=-2$，$A=1$。
当 $k-2=-2$ 时，$k=0$（舍去，非正整数），
$\therefore A$ 的值为1或3或4。