1. 计算：
(1)$(2a)^{5}=\_\_\_\_\_\_=$.
(2)$(-3y)^{3}=\_\_\_\_\_\_=$.
(3)$(-a^{3}b^{2})^{4}=\_\_\_\_\_\_=$.
(4)$(-\frac{1}{3}x^{4})^{2}=\_\_\_\_\_\_=$.

1. (1) $2^{5}a^{5}$ $32a^{5}$
(2) $(-3)^{3}y^{3}$ $-27y^{3}$
(3) $(-a^{3})^{4}(b^{2})^{4}$ $a^{12}b^{8}$
(4) $(-\frac{1}{3})^{2}(x^{4})^{2}$ $\frac{1}{9}x^{8}$

【解析】
本题可根据积的乘方运算法则$(ab)^n=a^n b^n$和幂的乘方运算法则$(a^m)^n=a^{mn}$分步计算：
(1) 利用积的乘方法则展开：$(2a)^5=2^5a^5$，计算$2^5=32$，得$32a^5$；
(2) 利用积的乘方法则展开：$(-3y)^3=(-3)^3y^3$，计算$(-3)^3=-27$，得$-27y^3$；
(3) 利用积的乘方法则展开：$(-a^3b^2)^4=(-a^3)^4(b^2)^4$，再根据幂的乘方法则计算：$(-a^3)^4=a^{12}$，$(b^2)^4=b^8$，得$a^{12}b^8$；
(4) 利用积的乘方法则展开：$(-\frac{1}{3}x^4)^2=(-\frac{1}{3})^2(x^4)^2$，计算$(-\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$，根据幂的乘方法则得$(x^4)^2=x^8$，最终结果为$\frac{1}{9}x^8$。
【答案】
(1) $2^{5}a^{5}$，$32a^{5}$
(2) $(-3)^{3}y^{3}$，$-27y^{3}$
(3) $(-a^{3})^{4}(b^{2})^{4}$，$a^{12}b^{8}$
(4) $(-\frac{1}{3})^{2}(x^{4})^{2}$，$\frac{1}{9}x^{8}$
【知识点】
积的乘方法则，幂的乘方法则
【点评】
本题为幂运算的基础题型，重点考查积的乘方与幂的乘方运算法则的应用，解题时需注意符号的正确处理，尤其是负数乘方的符号判断。
【难度系数】
0.9

2. 填空：
(1) ()$^{3}=8a^{6}$.
(2)$16a^{4}b^{8}=( ) )$^{2}=() )$^{4}$.

2. (1) $2a^{2}$ (2) $\pm4a^{2}b^{4}$ $\pm2ab^{2}$

【解析】
(1) 利用积的乘方与幂的乘方的逆运算，因为$8=2^3$，$a^6=(a^2)^3$，所以$(2a^2)^3=2^3·(a^2)^3=8a^6$，括号内填$2a^2$。
(2) 对于$16a^4b^8=( )^2$，由$16=(\pm4)^2$，$a^4=(a^2)^2$，$b^8=(b^4)^2$，根据积的乘方逆运算得$(\pm4a^2b^4)^2=16a^4b^8$；对于$16a^4b^8=( )^4$，由$16=(\pm2)^4$，$a^4=a^4$，$b^8=(b^2)^4$，同理得$(\pm2ab^2)^4=16a^4b^8$，故括号依次填$\pm4a^2b^4$、$\pm2ab^2$。
【答案】
(1) $2a^{2}$；(2) $\pm4a^{2}b^{4}$，$\pm2ab^{2}$
【知识点】
积的乘方逆运算，幂的乘方逆运算
【点评】
本题考查幂的运算逆用，需熟练掌握积的乘方、幂的乘方法则，注意平方和四次方的结果非负，括号内要考虑正负性，立方运算则根据结果符号确定底数符号。
【难度系数】
0.6

3. 计算$(3xy^{2})^{3}$的结果是 ()

A.$9x^{3}y^{5}$
B.$9x^{3}y^{6}$
C.$27x^{3}y^{5}$
D.$27x^{3}y^{6}$

3. D

【解析】
根据积的乘方和幂的乘方法则计算：
$\begin{aligned}(3xy^{2})^{3}&=3^{3}· x^{3}· (y^{2})^{3}\\&=27x^{3}y^{2×3}\\&=27x^{3}y^{6}\end{aligned}$
故答案选D。
【答案】
D
【知识点】
积的乘方，幂的乘方
【点评】
本题考查幂的运算性质，熟练掌握积的乘方（把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘）和幂的乘方（底数不变，指数相乘）的运算法则是解题的关键。
【难度系数】
0.8

4. 计算$(-2a)^{3}$的结果是 ()

A.$6a^{3}$
B.$-6a^{3}$
C.$8a^{3}$
D.$-8a^{3}$

4. D

【解析】
根据积的乘方运算法则：$(ab)^n=a^n b^n$，计算如下：
$(-2a)^{3}=(-2)^3 · a^3=-8a^3$，因此结果对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
积的乘方运算、有理数乘方
【点评】
本题考查积的乘方运算法则的应用，解题时需注意负数的奇次幂为负数，准确计算系数的乘方结果。
【难度系数】
0.9

5. 下列运算正确的是 ()

A.$(a + b)^{2}=a^{2}+b^{2}$
B.$a^{2}· a^{3}=a^{6}$
C.$(a^{3})^{2}=a^{6}$
D.$(4a)^{3}=12a^{3}$

5. C

【解析】
逐一分析各选项：
A. 根据完全平方公式，$(a + b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$，故A错误；
B. 根据同底数幂乘法法则，$a^{2}· a^{3}=a^{2+3}=a^{5}$，故B错误；
C. 根据幂的乘方法则，$(a^{3})^{2}=a^{3×2}=a^{6}$，故C正确；
D. 根据积的乘方法则，$(4a)^{3}=4^{3}·a^{3}=64a^{3}$，故D错误。
综上，正确答案为C。
【答案】
C
【知识点】
完全平方公式，同底数幂乘法，幂的乘方与积的乘方
【点评】
本题考查整式乘除运算的相关法则，需熟练掌握各类幂的运算法则及完全平方公式，准确区分不同运算的计算规则，避免因法则混淆而出错。
【难度系数】
0.8

6. 已知$2^{n}=a$，$5^{n}=b$，$20^{n}=c$，那么$a$，$b$，$c$之间满足的等量关系是 ()

A.$c = ab$
B.$c = ab^{2}$
C.$c = a^{2}b^{2}$
D.$c = a^{2}b$

6. D

【解析】
因为$20^n=(2^2×5)^n=(2^2)^n×5^n=(2^n)^2×5^n$，
又因为$2^n=a$，$5^n=b$，$20^n=c$，
所以$c=a^2b$。
【答案】
D
【知识点】
幂的乘方法则、积的乘方法则
【点评】
本题考查幂的运算法则的综合应用，解题关键是将$20^n$转化为含$2^n$和$5^n$的形式，通过幂的运算性质变形得到$a$、$b$、$c$的等量关系。
【难度系数】
0.7

7. 若$(2x^{m}y^{m + n})^{3}=8x^{9}y^{15}$成立，则 ()

A.$m = 3$，$n = 2$
B.$m = 3$，$n = 3$
C.$m = 6$，$n = 2$
D.$m = 3$，$n = 5$

7. A

【解析】
根据积的乘方与幂的乘方法则，将等式左边展开：
$(2x^{m}y^{m + n})^{3}=2^3·(x^m)^3· y^{3(m+n)}=8x^{3m}y^{3(m+n)}$
因为等式右边为$8x^{9}y^{15}$，且等式成立，所以对应字母的指数相等，可得方程组：
$\begin{cases}3m=9\\3(m+n)=15\end{cases}$
解第一个方程得$m=3$，将$m=3$代入第二个方程：
$3×(3+n)=15$，解得$n=2$，因此选A。
【答案】
A
【知识点】
积的乘方法则、幂的乘方法则、指数对应相等
【点评】
本题考查幂的运算相关法则的应用，通过等式两边同底数幂的指数相等建立方程组求解，属于基础题型，需熟练掌握积的乘方与幂的乘方的计算规则。
【难度系数】
0.8

8. 计算$(0.25)^{3}×(-4)^{3}$的结果是 ()

A.$-1$
B.$1$
C.$0$
D.$-3$

8. A

【解析】
利用积的乘方逆运算：$a^n×b^n=(ab)^n$，
则$(0.25)^{3}×(-4)^{3}=[0.25×(-4)]^{3}=(-1)^{3}=-1$。
【答案】
A
【知识点】
积的乘方逆运算
【点评】
本题考查积的乘方逆运算的应用，逆用公式可简化计算，属于基础运算题型。
【难度系数】
0.9

9. 计算：
(1)$(3x^{3})^{4}$.
(2)$(\frac{2}{3}a^{2}b)^{3}$.
(3)$(-5a^{2}bc^{3})^{2}$.
(4)$(-\frac{1}{2}m^{5}n^{2})^{3}$.
(5)$(-3a^{2})^{3}+(-4a^{3})^{2}$.
(6)$(a^{n}b^{3n})^{2}+(a^{2}b^{6})^{n}$.

9. (1) $81x^{12}$ (2) $\frac{8}{27}a^{6}b^{3}$ (3) $25a^{4}b^{2}c^{6}$
(4) $-\frac{1}{8}m^{15}n^{6}$ (5) $-11a^{6}$ (6) $2a^{2n}b^{6n}$

【解析】
(1) 根据积的乘方和幂的乘方法则：
$(3x^{3})^{4}=3^{4}×(x^{3})^{4}=81x^{12}$
(2) 同理：
$(\frac{2}{3}a^{2}b)^{3}=(\frac{2}{3})^{3}×(a^{2})^{3}× b^{3}=\frac{8}{27}a^{6}b^{3}$
(3) 注意负数平方为正：
$(-5a^{2}bc^{3})^{2}=(-5)^{2}×(a^{2})^{2}× b^{2}×(c^{3})^{2}=25a^{4}b^{2}c^{6}$
(4) 注意负数立方为负：
$(-\frac{1}{2}m^{5}n^{2})^{3}=(-\frac{1}{2})^{3}×(m^{5})^{3}×(n^{2})^{3}=-\frac{1}{8}m^{15}n^{6}$
(5) 先分别计算两项再合并：
$(-3a^{2})^{3}=(-3)^{3}×(a^{2})^{3}=-27a^{6}$，$(-4a^{3})^{2}=(-4)^{2}×(a^{3})^{2}=16a^{6}$
则原式$=-27a^{6}+16a^{6}=-11a^{6}$
(6) 利用积的乘方与幂的乘方法则计算后合并：
$(a^{n}b^{3n})^{2}=a^{2n}b^{6n}$，$(a^{2}b^{6})^{n}=a^{2n}b^{6n}$
则原式$=a^{2n}b^{6n}+a^{2n}b^{6n}=2a^{2n}b^{6n}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{81x^{12}}$；(2) $\boldsymbol{\frac{8}{27}a^{6}b^{3}}$；(3) $\boldsymbol{25a^{4}b^{2}c^{6}}$；(4) $\boldsymbol{-\frac{1}{8}m^{15}n^{6}}$；(5) $\boldsymbol{-11a^{6}}$；(6) $\boldsymbol{2a^{2n}b^{6n}}$
【知识点】
积的乘方，幂的乘方，整式的加减
【点评】
本题重点考查积的乘方与幂的乘方法则的运用，需注意符号的判断以及同类项的合并，对于含字母指数的运算，要准确遵循指数运算法则，是整式乘除的基础题型。
【难度系数】
0.8