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12. 已知$8^{x}=256$，$9^{y}=243$，则$x + y$的值为(
A.$5$
B.$\frac{31}{6}$
C.$13$
D.$8$
B
)A.$5$
B.$\frac{31}{6}$
C.$13$
D.$8$
答案
12. B
解析
【解析】
先将等式两边化为同底数幂：
因为$8=2^3$，$256=2^8$，所以$(2^3)^x=2^8$，根据幂的乘方法则，$3x=8$，解得$x=\frac{8}{3}$；
因为$9=3^2$，$243=3^5$，所以$(3^2)^y=3^5$，根据幂的乘方法则，$2y=5$，解得$y=\frac{5}{2}$；
则$x+y=\frac{8}{3}+\frac{5}{2}=\frac{16}{6}+\frac{15}{6}=\frac{31}{6}$。
【答案】
B
【知识点】
幂的乘方法则，分数加法
【点评】
本题考查幂的乘方法则的逆用，解题关键是将等式两边转化为同底数幂，建立方程求出x、y的值，再进行分数加法运算。
【难度系数】
0.6
先将等式两边化为同底数幂：
因为$8=2^3$，$256=2^8$，所以$(2^3)^x=2^8$，根据幂的乘方法则，$3x=8$，解得$x=\frac{8}{3}$；
因为$9=3^2$，$243=3^5$，所以$(3^2)^y=3^5$，根据幂的乘方法则，$2y=5$，解得$y=\frac{5}{2}$；
则$x+y=\frac{8}{3}+\frac{5}{2}=\frac{16}{6}+\frac{15}{6}=\frac{31}{6}$。
【答案】
B
【知识点】
幂的乘方法则，分数加法
【点评】
本题考查幂的乘方法则的逆用，解题关键是将等式两边转化为同底数幂，建立方程求出x、y的值，再进行分数加法运算。
【难度系数】
0.6
13. 已知$a = 81^{31}$，$b = 27^{41}$，$c = 9^{61}$，则$a$，$b$，$c$的大小关系是(
A.$a＞b＞c$
B.$a＞c＞b$
C.$c＞b＞a$
D.$b＞c＞a$
A
)A.$a＞b＞c$
B.$a＞c＞b$
C.$c＞b＞a$
D.$b＞c＞a$
答案
13. A
解析
【解析】
将$a$、$b$、$c$转化为以3为底的幂：
$a = 81^{31} = (3^4)^{31} = 3^{4×31} = 3^{124}$，
$b = 27^{41} = (3^3)^{41} = 3^{3×41} = 3^{123}$，
$c = 9^{61} = (3^2)^{61} = 3^{2×61} = 3^{122}$。
因为指数函数$y=3^x$是增函数，且$124＞123＞122$，所以$3^{124}＞3^{123}＞3^{122}$，即$a＞b＞c$。
【答案】
A
【知识点】
幂的乘方运算、幂的大小比较
【点评】
本题考查幂的乘方运算及幂的大小比较，解题关键是通过幂的乘方法则将各数转化为同底数幂，再利用指数函数的单调性比较大小，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
将$a$、$b$、$c$转化为以3为底的幂：
$a = 81^{31} = (3^4)^{31} = 3^{4×31} = 3^{124}$，
$b = 27^{41} = (3^3)^{41} = 3^{3×41} = 3^{123}$，
$c = 9^{61} = (3^2)^{61} = 3^{2×61} = 3^{122}$。
因为指数函数$y=3^x$是增函数，且$124＞123＞122$，所以$3^{124}＞3^{123}＞3^{122}$，即$a＞b＞c$。
【答案】
A
【知识点】
幂的乘方运算、幂的大小比较
【点评】
本题考查幂的乘方运算及幂的大小比较，解题关键是通过幂的乘方法则将各数转化为同底数幂，再利用指数函数的单调性比较大小，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
14. 计算：
(1) $(-x^{3})^{4}×(x^{2})^{3}$.
(2) $(-c^{3})·(-c^{3})^{2}·(-c^{3})^{3}$.
(3) $-(-m^{3})^{4}+3m^{7}× m^{5}$.
(4) $y^{5}·(y^{5})^{2}-2·(y^{5})^{3}$.
(1) $(-x^{3})^{4}×(x^{2})^{3}$.
(2) $(-c^{3})·(-c^{3})^{2}·(-c^{3})^{3}$.
(3) $-(-m^{3})^{4}+3m^{7}× m^{5}$.
(4) $y^{5}·(y^{5})^{2}-2·(y^{5})^{3}$.
答案
14. (1) $ x^{18} $ (2) $ c^{18} $ (3) $ 2m^{12} $ (4) $ -y^{15} $
解析
【解析】
(1) 先根据幂的乘方法则计算：$(-x^{3})^{4}=x^{3×4}=x^{12}$，$(x^{2})^{3}=x^{2×3}=x^{6}$，再根据同底数幂的乘法法则计算：$x^{12}×x^{6}=x^{12+6}=x^{18}$。
(2) 先计算幂的乘方：$(-c^{3})^{2}=c^{3×2}=c^{6}$，$(-c^{3})^{3}=-c^{3×3}=-c^{9}$，再计算同底数幂的乘法：$(-c^{3})·c^{6}·(-c^{9})=c^{3+6+9}=c^{18}$。
(3) 分别计算两项：$-(-m^{3})^{4}=-m^{3×4}=-m^{12}$，$3m^{7}×m^{5}=3m^{7+5}=3m^{12}$，再合并同类项：$-m^{12}+3m^{12}=2m^{12}$。
(4) 先计算幂的乘方：$(y^{5})^{2}=y^{5×2}=y^{10}$，$(y^{5})^{3}=y^{5×3}=y^{15}$，再计算同底数幂的乘法和合并同类项：$y^{5}·y^{10}-2·y^{15}=y^{15}-2y^{15}=-y^{15}$。
【答案】
(1) $x^{18}$；(2) $c^{18}$；(3) $2m^{12}$；(4) $-y^{15}$
【知识点】
幂的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项
【点评】
本题考查幂的运算性质的综合应用，解题时需注意符号的处理以及幂的乘方与同底数幂乘法法则的区别，准确计算指数是关键。
【难度系数】
0.8
(1) 先根据幂的乘方法则计算：$(-x^{3})^{4}=x^{3×4}=x^{12}$，$(x^{2})^{3}=x^{2×3}=x^{6}$，再根据同底数幂的乘法法则计算：$x^{12}×x^{6}=x^{12+6}=x^{18}$。
(2) 先计算幂的乘方：$(-c^{3})^{2}=c^{3×2}=c^{6}$，$(-c^{3})^{3}=-c^{3×3}=-c^{9}$，再计算同底数幂的乘法：$(-c^{3})·c^{6}·(-c^{9})=c^{3+6+9}=c^{18}$。
(3) 分别计算两项：$-(-m^{3})^{4}=-m^{3×4}=-m^{12}$，$3m^{7}×m^{5}=3m^{7+5}=3m^{12}$，再合并同类项：$-m^{12}+3m^{12}=2m^{12}$。
(4) 先计算幂的乘方：$(y^{5})^{2}=y^{5×2}=y^{10}$，$(y^{5})^{3}=y^{5×3}=y^{15}$，再计算同底数幂的乘法和合并同类项：$y^{5}·y^{10}-2·y^{15}=y^{15}-2y^{15}=-y^{15}$。
【答案】
(1) $x^{18}$；(2) $c^{18}$；(3) $2m^{12}$；(4) $-y^{15}$
【知识点】
幂的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项
【点评】
本题考查幂的运算性质的综合应用，解题时需注意符号的处理以及幂的乘方与同底数幂乘法法则的区别，准确计算指数是关键。
【难度系数】
0.8
15. 已知$x = 3^{m}+2$，$y = 9^{m}+3^{m}$，则$y =$.(用含$x$的代数式表示)
答案
15. $ x^{2} - 3x + 2 $
解析
【解析】
由$x = 3^{m}+2$，可得$3^{m}=x-2$。
因为$9^{m}=(3^{2})^{m}=(3^{m})^{2}$，将$3^{m}=x-2$代入$y = 9^{m}+3^{m}$中：
$y=(x-2)^{2}+(x-2)$
展开化简得：$y=x^{2}-4x+4+x-2=x^{2}-3x+2$。
【答案】
$x^{2}-3x+2$
【知识点】
幂的乘方，代数式代换
【点评】
本题考查幂的乘方的逆运算及代数式的代换变形，需熟练运用幂的运算法则，通过将$3^m$转化为含$x$的式子，代入$y$的表达式化简求解。
【难度系数】
0.6
由$x = 3^{m}+2$，可得$3^{m}=x-2$。
因为$9^{m}=(3^{2})^{m}=(3^{m})^{2}$，将$3^{m}=x-2$代入$y = 9^{m}+3^{m}$中：
$y=(x-2)^{2}+(x-2)$
展开化简得：$y=x^{2}-4x+4+x-2=x^{2}-3x+2$。
【答案】
$x^{2}-3x+2$
【知识点】
幂的乘方，代数式代换
【点评】
本题考查幂的乘方的逆运算及代数式的代换变形，需熟练运用幂的运算法则，通过将$3^m$转化为含$x$的式子，代入$y$的表达式化简求解。
【难度系数】
0.6
16. 已知$16^{m}=4^{3n + 2}$，且$27^{m}=(9^{2})^{n + 1}$，求代数式$(m + 2n)^{m - n}$的值.
答案
16. 64
解析
【解析】
先将已知等式化为同底数幂的形式，利用幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$转化：
1. 对$16^m=4^{3n+2}$转化：
$16^m=(2^4)^m=2^{4m}$，$4^{3n+2}=(2^2)^{3n+2}=2^{6n+4}$，
由底数相同指数相等得：$4m=6n+4$，整理得$2m-3n=2$ ①；
2. 对$27^m=(9^2)^{n+1}$转化：
$27^m=(3^3)^m=3^{3m}$，$(9^2)^{n+1}=(3^2)^{2n+2}=3^{4n+4}$，
由底数相同指数相等得：$3m=4n+4$，整理得$3m-4n=4$ ②；
3. 联立①②组成方程组$\begin{cases}2m-3n=2 \\3m-4n=4 \end{cases}$，
解方程组：①×3得$6m-9n=6$ ③，②×2得$6m-8n=8$ ④，
④-③得$n=2$，将$n=2$代入①得$2m-6=2$，解得$m=4$；
4. 将$m=4$，$n=2$代入代数式：
$(4+2×2)^{4-2}=8^2=64$。
【答案】
64
【知识点】
幂的乘方、解二元一次方程组、代数式求值
【点评】
本题通过将不同底数幂转化为同底数幂，利用幂的乘方法则建立关于m、n的二元一次方程组，求解后代入代数式计算，考查了幂的运算性质及方程组的解法，需熟练掌握幂的乘方法则的逆用。
【难度系数】
0.6
先将已知等式化为同底数幂的形式，利用幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$转化：
1. 对$16^m=4^{3n+2}$转化：
$16^m=(2^4)^m=2^{4m}$，$4^{3n+2}=(2^2)^{3n+2}=2^{6n+4}$，
由底数相同指数相等得：$4m=6n+4$，整理得$2m-3n=2$ ①；
2. 对$27^m=(9^2)^{n+1}$转化：
$27^m=(3^3)^m=3^{3m}$，$(9^2)^{n+1}=(3^2)^{2n+2}=3^{4n+4}$，
由底数相同指数相等得：$3m=4n+4$，整理得$3m-4n=4$ ②；
3. 联立①②组成方程组$\begin{cases}2m-3n=2 \\3m-4n=4 \end{cases}$，
解方程组：①×3得$6m-9n=6$ ③，②×2得$6m-8n=8$ ④，
④-③得$n=2$，将$n=2$代入①得$2m-6=2$，解得$m=4$；
4. 将$m=4$，$n=2$代入代数式：
$(4+2×2)^{4-2}=8^2=64$。
【答案】
64
【知识点】
幂的乘方、解二元一次方程组、代数式求值
【点评】
本题通过将不同底数幂转化为同底数幂，利用幂的乘方法则建立关于m、n的二元一次方程组，求解后代入代数式计算，考查了幂的运算性质及方程组的解法，需熟练掌握幂的乘方法则的逆用。
【难度系数】
0.6
