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7. 在平面直角坐标系 $ xOy $ 中,以 $ O,A,B,C $ 为顶点的正方形的边长为 3.若点 $ A $ 在 $ x $ 轴上,点 $ C $ 在 $ y $ 轴的正半轴上,则点 $ B $ 的坐标是()
A.$ (3,3) $
B.$ (3,-3) $
C.$ (3,3) $ 或 $ (-3,3) $
D.$ (-3,-3) $ 或 $ (3,-3) $
A.$ (3,3) $
B.$ (3,-3) $
C.$ (3,3) $ 或 $ (-3,3) $
D.$ (-3,-3) $ 或 $ (3,-3) $
答案
C
解析
设O为原点(0,0)，点A在x轴上，设A(a,0)；点C在y轴正半轴上，设C(0,c)。
∵正方形边长为3，OA、OC为相邻边（x轴与y轴垂直），∴OA=OC=3，即|a|=3，c=3。
当A在x轴正半轴时，A(3,0)，C(0,3)，则B坐标为(3,3)；
当A在x轴负半轴时，A(-3,0)，C(0,3)，则B坐标为(-3,3)。
故点B的坐标是(3,3)或(-3,3)。
∵正方形边长为3，OA、OC为相邻边（x轴与y轴垂直），∴OA=OC=3，即|a|=3，c=3。
当A在x轴正半轴时，A(3,0)，C(0,3)，则B坐标为(3,3)；
当A在x轴负半轴时，A(-3,0)，C(0,3)，则B坐标为(-3,3)。
故点B的坐标是(3,3)或(-3,3)。
8. 如图,在平面直角坐标系 $ xOy $ 中,动点 $ P $ 按图中箭头所示方向依次运动,第 1 次从点 $ (-1,0) $ 运动到点 $ (0,1) $,第 2 次运动到点 $ (1,0) $,第 3 次运动到点 $ (2,-2) $……按这样的运动规律,动点 $ P $ 第 2025 次运动到点()
A.$ (2025,0) $
B.$ (2024,-2) $
C.$ (2024,1) $
D.$ (2024,0) $
A.$ (2025,0) $
B.$ (2024,-2) $
C.$ (2024,1) $
D.$ (2024,0) $
答案
C
解析
列表分析动点P的运动规律：
第1次：(0,1)，x=1-1=0，y=1（n=1，4余1）
第2次：(1,0)，x=2-1=1，y=0（n=2，4余2）
第3次：(2,-2)，x=3-1=2，y=-2（n=3，4余3）
第4次：(3,0)，x=4-1=3，y=0（n=4，4余0）
第5次：(4,1)，x=5-1=4，y=1（n=5，4余1）
规律：x=n-1；y以1,0,-2,0为周期循环（周期4）。
第2025次：x=2025-1=2024；2025÷4=506余1，y=1。故坐标为(2024,1)。
第1次：(0,1)，x=1-1=0，y=1（n=1，4余1）
第2次：(1,0)，x=2-1=1，y=0（n=2，4余2）
第3次：(2,-2)，x=3-1=2，y=-2（n=3，4余3）
第4次：(3,0)，x=4-1=3，y=0（n=4，4余0）
第5次：(4,1)，x=5-1=4，y=1（n=5，4余1）
规律：x=n-1；y以1,0,-2,0为周期循环（周期4）。
第2025次：x=2025-1=2024；2025÷4=506余1，y=1。故坐标为(2024,1)。
二、填空题(本题共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分)
9. 已知点 $ A(a-3,b+4) $ 是原点,则 $ (a+b)^3= $.
9. 已知点 $ A(a-3,b+4) $ 是原点,则 $ (a+b)^3= $.
答案
由题意得，点$A(a - 3,b + 4)$是原点，原点坐标为$(0,0)$，则$\begin{cases}a - 3 = 0\\b + 4 = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = 3\\b = - 4\end{cases}$，所以$a + b=3+( - 4)=-1$，则$(a + b)^3=(-1)^3=-1$。
答案为$-1$。
答案为$-1$。
10. 在平面直角坐标系中,$ A(x,0) $,$ B(-3,0) $.若 $ AB=5 $,则 $ x $ 的值为.
答案
在平面直角坐标系中，已知点$A(x, 0)$和点$B(-3, 0)$，且$AB = 5$。
根据两点间的距离公式，有：
$AB = \sqrt{(x - (-3))^2 + (0 - 0)^2}$
$AB = \sqrt{(x + 3)^2}$
$AB = |x + 3|$
由于$AB = 5$，则有：
$|x + 3| = 5$
解这个绝对值方程，得到两个可能的
$x + 3 = 5 \quad \mathrm{或} \quad x + 3 = -5$
解得：$x = 2 \quad \mathrm{或} \quad x = -8$
故$x$的值为$2$或$-8$。
根据两点间的距离公式，有：
$AB = \sqrt{(x - (-3))^2 + (0 - 0)^2}$
$AB = \sqrt{(x + 3)^2}$
$AB = |x + 3|$
由于$AB = 5$，则有：
$|x + 3| = 5$
解这个绝对值方程，得到两个可能的
$x + 3 = 5 \quad \mathrm{或} \quad x + 3 = -5$
解得：$x = 2 \quad \mathrm{或} \quad x = -8$
故$x$的值为$2$或$-8$。
11. 在平面直角坐标系中,点 $ A(-\sqrt{m},m) $ 到 $ x $ 轴的距离是 4,则 $ A $ 点的坐标是.
答案
因为点$ A(-\sqrt{m},m) $到$ x $轴的距离是$ 4 $，而点到$ x $轴的距离为该点的纵坐标的绝对值，所以$ |m| = 4 $，即$ m = 4 $或$ m = -4 $。
又因为$ \sqrt{m} $有意义，所以$ m ≥ 0 $，故$ m = -4 $舍去，$ m = 4 $。
则$ -\sqrt{m} = -\sqrt{4} = -2 $，所以点$ A $的坐标为$ (-2, 4) $。
$(-2,4)$
又因为$ \sqrt{m} $有意义，所以$ m ≥ 0 $，故$ m = -4 $舍去，$ m = 4 $。
则$ -\sqrt{m} = -\sqrt{4} = -2 $，所以点$ A $的坐标为$ (-2, 4) $。
$(-2,4)$
12. 在平面直角坐标系中,将线段 $ AB $ 平移得到线段 $ MN $.若点 $ A(-1,3) $ 的对应点为 $ M(2,5) $,则点 $ B(-3,-1) $ 的对应点 $ N $ 的坐标是.
答案
在平面直角坐标系中，点$A(-1,3)$平移至点$M(2,5)$，
横坐标的变化：$\Delta x = 2 - (-1) = 3$，
纵坐标的变化：$\Delta y = 5 - 3 = 2$。
应用相同的平移向量到点$B(-3,-1)$，
横坐标：$N_x = -3 + 3 = 0$，
纵坐标：$N_y = -1 + 2 = 1$。
故点$N$的坐标为$(0,1)$。
横坐标的变化：$\Delta x = 2 - (-1) = 3$，
纵坐标的变化：$\Delta y = 5 - 3 = 2$。
应用相同的平移向量到点$B(-3,-1)$，
横坐标：$N_x = -3 + 3 = 0$，
纵坐标：$N_y = -1 + 2 = 1$。
故点$N$的坐标为$(0,1)$。
13. 在平面直角坐标系中,将一个横、纵坐标都是整数的点,沿平行于坐标轴的直线平移 1 个单位长度,称该点走了 1 步.点 $ A(1,0) $,$ B(2,4) $,$ C(3,1) $ 各走了若干步后到达同一点 $ P $,当点 $ P $ 的坐标为时,三个点的步数和最小,为.
答案
$(2,1)$；$6$
解析
要使点$A(1,0)$、$B(2,4)$、$C(3,1)$到达同一点$P(x,y)$的步数和最小，需分别确定$x$和$y$的值，使得横向步数和与纵向步数和均最小。
1. 确定$x$的值
横向步数和为$|x - 1| + |x - 2| + |x - 3|$。对于绝对值和函数，当$x$为中位数时最小。$1,2,3$的中位数为$2$，故$x=2$，此时横向步数和为$|2 - 1| + |2 - 2| + |2 - 3| = 1 + 0 + 1 = 2$。
2. 确定$y$的值
纵向步数和为$|y - 0| + |y - 4| + |y - 1|$。$0,1,4$的中位数为$1$，故$y=1$，此时纵向步数和为$|1 - 0| + |1 - 4| + |1 - 1| = 1 + 3 + 0 = 4$。
3. 总步数和
总步数和为横向步数和与纵向步数和之和，即$2 + 4 = 6$。
1. 确定$x$的值
横向步数和为$|x - 1| + |x - 2| + |x - 3|$。对于绝对值和函数，当$x$为中位数时最小。$1,2,3$的中位数为$2$，故$x=2$，此时横向步数和为$|2 - 1| + |2 - 2| + |2 - 3| = 1 + 0 + 1 = 2$。
2. 确定$y$的值
纵向步数和为$|y - 0| + |y - 4| + |y - 1|$。$0,1,4$的中位数为$1$，故$y=1$，此时纵向步数和为$|1 - 0| + |1 - 4| + |1 - 1| = 1 + 3 + 0 = 4$。
3. 总步数和
总步数和为横向步数和与纵向步数和之和，即$2 + 4 = 6$。
14. 在平面直角坐标系中,已知点 $ M(2-t,t) $,$ N(t+4,t) $,直线 $ l $ 经过线段 $ MN $ 的中点,直线 $ l // y $ 轴,点 $ P $ 在直线 $ l $ 上,且点 $ P $ 到线段 $ MN $ 的距离为 1,则点 $ P $ 的坐标是(用含 $ t $ 的式子表示).
答案
(3, t+1)或(3, t-1)
解析
1. 求线段MN的中点坐标：
M(2-t, t)，N(t+4, t)，中点横坐标为 $\frac{(2-t)+(t+4)}{2} = 3$，纵坐标为 $\frac{t+t}{2} = t$，故中点坐标为(3, t)。
2. 确定直线l的方程：
直线l经过中点(3, t)且平行于y轴，故直线l的方程为 $x = 3$。
3. 设点P坐标：
点P在直线l上，设P(3, y)。
4. 计算点P到线段MN的距离：
线段MN在直线 $y = t$ 上（因M、N纵坐标均为t），点P到MN的距离为 $|y - t| = 1$，解得 $y = t + 1$ 或 $y = t - 1$。
5. 点P的坐标：
(3, t+1) 或 (3, t-1)。
M(2-t, t)，N(t+4, t)，中点横坐标为 $\frac{(2-t)+(t+4)}{2} = 3$，纵坐标为 $\frac{t+t}{2} = t$，故中点坐标为(3, t)。
2. 确定直线l的方程：
直线l经过中点(3, t)且平行于y轴，故直线l的方程为 $x = 3$。
3. 设点P坐标：
点P在直线l上，设P(3, y)。
4. 计算点P到线段MN的距离：
线段MN在直线 $y = t$ 上（因M、N纵坐标均为t），点P到MN的距离为 $|y - t| = 1$，解得 $y = t + 1$ 或 $y = t - 1$。
5. 点P的坐标：
(3, t+1) 或 (3, t-1)。
