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8. 在某次训练中,甲、乙两名射击运动员各射击 10 发子弹的成绩统计图如图所示,对于本次训练,有如下结论:
①$σ_{甲}^{2}＞σ_{乙}^{2}$;②$σ_{甲}^{2}＜σ_{乙}^{2}$;③甲的射击成绩比乙稳定;④乙的射击成绩比甲稳定,由统计图可知正确的结论是()
A.①③
B.①④
C.②③
D.②④
①$σ_{甲}^{2}＞σ_{乙}^{2}$;②$σ_{甲}^{2}＜σ_{乙}^{2}$;③甲的射击成绩比乙稳定;④乙的射击成绩比甲稳定,由统计图可知正确的结论是()
A.①③
B.①④
C.②③
D.②④
答案
C
解析
读取甲、乙成绩：甲：7,7,8,9,8,9,10,9,9,9；乙：8,9,7,8,10,7,9,10,7,10。
计算平均数：甲、乙总和均为85，平均数均为8.5。
计算方差：
甲的方差：$σ_{甲}^{2}=\frac{1}{10}[(-1.5)^2+(-1.5)^2+(-0.5)^2+(0.5)^2+(-0.5)^2+(0.5)^2+(1.5)^2+(0.5)^2+(0.5)^2+(0.5)^2]=\frac{8.5}{10}=0.85$
乙的方差：$σ_{乙}^{2}=\frac{1}{10}[(-0.5)^2+(0.5)^2+(-1.5)^2+(-0.5)^2+(1.5)^2+(-1.5)^2+(0.5)^2+(1.5)^2+(-1.5)^2+(1.5)^2]=\frac{14.5}{10}=1.45$
故$σ_{甲}^{2}＜σ_{乙}^{2}$，甲的成绩比乙稳定，结论②③正确。
计算平均数：甲、乙总和均为85，平均数均为8.5。
计算方差：
甲的方差：$σ_{甲}^{2}=\frac{1}{10}[(-1.5)^2+(-1.5)^2+(-0.5)^2+(0.5)^2+(-0.5)^2+(0.5)^2+(1.5)^2+(0.5)^2+(0.5)^2+(0.5)^2]=\frac{8.5}{10}=0.85$
乙的方差：$σ_{乙}^{2}=\frac{1}{10}[(-0.5)^2+(0.5)^2+(-1.5)^2+(-0.5)^2+(1.5)^2+(-1.5)^2+(0.5)^2+(1.5)^2+(-1.5)^2+(1.5)^2]=\frac{14.5}{10}=1.45$
故$σ_{甲}^{2}＜σ_{乙}^{2}$，甲的成绩比乙稳定，结论②③正确。
二、填空题(每小题 5 分,共 20 分)
9. 在一次数学测试中,张老师发现第一小组 6 位学生的成绩(单位:分)分别为:85,78,90,72,●,75,其中有一位同学的成绩被墨水污染,但知道该小组的平均分为 80 分,则该小组成绩的中位数是.
9. 在一次数学测试中,张老师发现第一小组 6 位学生的成绩(单位:分)分别为:85,78,90,72,●,75,其中有一位同学的成绩被墨水污染,但知道该小组的平均分为 80 分,则该小组成绩的中位数是.
答案
设被污染的成绩为$x$分。
根据平均分的定义：$\frac{85 + 78 + 90 + 72 + x + 75}{6} = 80$
计算分子总和：$85 + 78 = 163$，$163 + 90 = 253$，$253 + 72 = 325$，$325 + 75 = 400$，则$\frac{400 + x}{6} = 80$
解得：$400 + x = 480$，$x = 80$
将成绩排序：72，75，78，80，85，90
中位数为中间两个数的平均值：$\frac{78 + 80}{2} = 79$
79
根据平均分的定义：$\frac{85 + 78 + 90 + 72 + x + 75}{6} = 80$
计算分子总和：$85 + 78 = 163$，$163 + 90 = 253$，$253 + 72 = 325$，$325 + 75 = 400$，则$\frac{400 + x}{6} = 80$
解得：$400 + x = 480$，$x = 80$
将成绩排序：72，75，78，80，85，90
中位数为中间两个数的平均值：$\frac{78 + 80}{2} = 79$
79
10. 五年级(1)班同学数学考试平均成绩为 91.5 分,事后复查发现计算成绩时将一位同学的 98 分误作 89 分计算了,经重新计算,全班平均分是 91.7 分,则五年级一班有学生人.
答案
45
解析
设五年级一班有学生 $ x $ 人。
原总分：$ 91.5x $
少算的分数：$ 98 - 89 = 9 $（分）
重新计算后的总分：$ 91.7x $
根据总分关系：$ 91.5x + 9 = 91.7x $
解得：$ 0.2x = 9 $，$ x = 45 $
原总分：$ 91.5x $
少算的分数：$ 98 - 89 = 9 $（分）
重新计算后的总分：$ 91.7x $
根据总分关系：$ 91.5x + 9 = 91.7x $
解得：$ 0.2x = 9 $，$ x = 45 $
11. “杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交水稻在全世界推广种植.某种植户为了考查所种植的杂交水稻苗的长势,从稻田中随机抽取 7 株水稻苗,测得苗高(cm)分别是 23,24,23,25,26,23,25,则这组数据的众数是cm.
答案
23
解析
众数是一组数据中出现次数最多的数值。题目中给出的数据为23,24,23,25,26,23,25，其中23出现了3次，24出现了1次，25出现了2次，26出现了1次，因此23出现的次数最多。
12. 某兴趣小组 8 名同学的数学竞赛成绩(单位:分)分别为 80,68,90,70,88,96,89,98,则该小组数学成绩的下四分位数为.
答案
75
解析
将8名同学成绩从小到大排序：68,70,80,88,89,90,96,98。n=8，下四分位数位置=8×25%=2，取第2项与第3项的平均数，即(70+80)/2=75。
三、解答题(本大题共 3 小题,共 48 分)
13. (14 分)某公司职工的月工资情况如下:
(1)求该公司职工月工资的平均数为元、众数为元、中位数为元;
(2)你认为用平均数表示该公司职工月工资的“集中趋势”合适吗? 说说你的理由.
13. (14 分)某公司职工的月工资情况如下:
(1)求该公司职工月工资的平均数为元、众数为元、中位数为元;
(2)你认为用平均数表示该公司职工月工资的“集中趋势”合适吗? 说说你的理由.
答案
(1)
平均数：$\frac{12000 × 1 + 8000 × 1 + 2000 × 18}{1 + 1 + 18} = \frac{12000 + 8000 + 36000}{20} = \frac{56000}{20} = 2800$（元）。
众数：$2000$元（因为$2000$元出现的次数最多，共$18$次）。
中位数：由于共有$20$个数据，排序后中位数为第$10$和第$11$个数据的平均值，均为$2000$元，所以中位数为$2000$元。
故答案为：$2800$；$2000$；$2000$。
(2)
不合适。
因为平均数受到极端值（经理和副经理的高工资）的影响较大，使得平均数高于大部分职工的工资水平，不能真实反映该公司职工月工资的集中趋势。
平均数：$\frac{12000 × 1 + 8000 × 1 + 2000 × 18}{1 + 1 + 18} = \frac{12000 + 8000 + 36000}{20} = \frac{56000}{20} = 2800$（元）。
众数：$2000$元（因为$2000$元出现的次数最多，共$18$次）。
中位数：由于共有$20$个数据，排序后中位数为第$10$和第$11$个数据的平均值，均为$2000$元，所以中位数为$2000$元。
故答案为：$2800$；$2000$；$2000$。
(2)
不合适。
因为平均数受到极端值（经理和副经理的高工资）的影响较大，使得平均数高于大部分职工的工资水平，不能真实反映该公司职工月工资的集中趋势。
