有三盒同样的牛奶，每盒长 8 厘米、宽 4 厘米、高 12 厘米。现在要把这三盒牛奶包装成一包，你能想出几种不同的包装方法？


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（1）分别计算以上各种包装方法所需包装纸的大小（接口处不计），看看用哪种方法最省包装纸。
（2）不计算，你能知道以上哪一种方法最节约包装纸吗？为什么？

第2种方法最节约包装纸。
因为包装时重合的面面积越大，减少的表面积越多，总表面积越小。第2种方法重合
的是面积最大的面（长×高=8×12=96平方厘米），故最省包装纸。

8
4
36

 8
12
12

24
4
12
第1种：2×(8×4 + 8×36 + 4×36)=928(平方厘米)
第2种：2×(8×12 + 8×12 + 12×12)=672(平方厘米)
第3种：2×(24×4 + 24×12 + 4×12)=864(平方厘米)
第2种方法最节约包装纸。

【分析】
首先，包装三个相同的长方体牛奶盒，本质是将它们拼合成一个大长方体，长方体有3组不同的面，因此对应3种包装方法：
1. 重合长×宽的面（8×4），此时大长方体的高变为3个牛奶盒的高之和，长和宽不变；
2. 重合长×高的面（8×12），此时大长方体的宽变为3个牛奶盒的宽之和，长和高不变；
3. 重合宽×高的面（4×12），此时大长方体的长变为3个牛奶盒的长之和，宽和高不变。
对于问题（1），包装纸的大小等于拼合后大长方体的表面积，我们可以利用长方体表面积公式分别计算三种情况的表面积，再比较大小得出最省包装纸的方法。
对于问题（2），不用计算时，我们知道拼合时重合的面面积越大，减少的表面积就越多（每重合一个面，总表面积减少2个该面的面积），总表面积就越小，只需比较三个面的面积大小，找到重合最大面的包装方法即可。
【解析】
步骤1：确定三种包装方法的大长方体长宽高
第1种：重合长×宽（8×4）的面，大长方体的长=8厘米，宽=4厘米，高=12×3=36厘米；
第2种：重合长×高（8×12）的面，大长方体的长=8厘米，宽=4×3=12厘米，高=12厘米；
第3种：重合宽×高（4×12）的面，大长方体的长=8×3=24厘米，宽=4厘米，高=12厘米。
步骤2：计算每种包装方法的包装纸面积（即大长方体表面积）
根据长方体表面积公式：$S=2×(ab+ah+bh)$（$a$为长，$b$为宽，$h$为高）
第1种：
$S_1=2×(8×4 + 8×36 + 4×36)$
$=2×(32 + 288 + 144)$
$=2×464$
$=928$（平方厘米）
第2种：
$S_2=2×(8×12 + 8×12 + 12×12)$
$=2×(96 + 96 + 144)$
$=2×336$
$=672$（平方厘米）
第3种：
$S_3=2×(24×4 + 24×12 + 4×12)$
$=2×(96 + 288 + 48)$
$=2×432$
$=864$（平方厘米）
步骤3：比较表面积大小并回答问题
因为$672＜864＜928$，所以第2种方法最省包装纸。
问题（2）解答
不计算也能知道第2种方法最节约包装纸。原因：包装时，每重合一个面，总表面积就减少2个该面的面积，重合的面面积越大，减少的表面积越多，总表面积就越小。长方体三个面的面积分别为$8×4=32$平方厘米、$8×12=96$平方厘米、$4×12=48$平方厘米，其中$8×12$的面面积最大，第2种方法重合的就是这个最大的面，因此最省包装纸。
【答案】
（1）第1种包装方法需包装纸928平方厘米，第2种需672平方厘米，第3种需864平方厘米，第2种方法最省包装纸；
（2）第2种方法最节约包装纸，因为重合的是面积最大的面（长×高=96平方厘米），重合的面面积越大，减少的表面积越多，总表面积越小。
【知识点】
长方体表面积计算、立体图形拼组、包装优化策略
【点评】
本题考查长方体表面积知识在实际包装问题中的应用，通过分析不同拼合方式下的表面积变化，让学生理解包装优化的核心原理，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6