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1. 把下面两盒饼干包装成一包，你能想出几种包装方法？（接口处不计，单位：厘米）
|方法|草图|长/cm|宽/cm|高/cm|
|----|----|----|----|----|
|第 1 种||| | | |
|第 2 种||| | | |
分别计算以上各种方法所需要包装纸的大小，看看用哪种方法最节省包装纸。
|方法|草图|长/cm|宽/cm|高/cm|
|----|----|----|----|----|
|第 1 种||| | | |
|第 2 种||| | | |
分别计算以上各种方法所需要包装纸的大小，看看用哪种方法最节省包装纸。
答案
15
10
12
15
20
6
第3种
30
10
6
第1种：2×(15×10+15×12+10×12)=900(cm²)
第2种：2×(15×20+15×6+20×6)=1020(cm²)
第3种：2×(30×10+30×6+10×6)=1080(cm²)
结论：第1种方法最节省包装纸，需要900cm²包装纸。
解析
【分析】
要解决这个包装问题，首先明确：将两个相同的长方体包装成一包，本质是把两个长方体的某一组相同的面重合，从而形成新的大长方体。长方体有3组不同的面，因此有3种包装方法。
步骤1：确定三种重合方式对应的新长方体的长、宽、高：
第一种：把两个长方体的最大面（15×10）重合，此时新长方体的长和宽不变，高变为原来的2倍（6×2=12cm）；
第二种：把两个长方体的中等面（15×6）重合，此时新长方体的长和高不变，宽变为原来的2倍（10×2=20cm）；
第三种：把两个长方体的最小面（10×6）重合，此时新长方体的宽和高不变，长变为原来的2倍（15×2=30cm）。
步骤2：根据长方体表面积公式“长方体表面积=2×(长×宽+长×高+宽×高)”，分别计算三种方法的包装纸面积（即新长方体的表面积），比较大小后，表面积最小的就是最节省包装纸的方法。
【解析】
步骤1：确定三种包装方法的长、宽、高
|方法|长/cm|宽/cm|高/cm|
|----|----|----|----|
|第1种|15|10|12|
|第2种|15|20|6|
|第3种|30|10|6|
步骤2：计算每种方法的包装纸面积（表面积）
第1种：
$\begin{aligned}\mathrm{表面积}&=2×(15×10 + 15×12 + 10×12)\\&=2×(150 + 180 + 120)\\&=2×450\\&=900(\mathrm{cm}^2)\end{aligned}$
第2种：
$\begin{aligned}\mathrm{表面积}&=2×(15×20 + 15×6 + 20×6)\\&=2×(300 + 90 + 120)\\&=2×510\\&=1020(\mathrm{cm}^2)\end{aligned}$
第3种：
$\begin{aligned}\mathrm{表面积}&=2×(30×10 + 30×6 + 10×6)\\&=2×(300 + 180 + 60)\\&=2×540\\&=1080(\mathrm{cm}^2)\end{aligned}$
步骤3：比较表面积大小，得出结论
因为$900＜1020＜1080$，所以第1种方法最节省包装纸。
【答案】
三种包装方法的参数及包装纸面积：
第1种：长15cm、宽10cm、高12cm，包装纸面积900cm²；
第2种：长15cm、宽20cm、高6cm，包装纸面积1020cm²；
第3种：长30cm、宽10cm、高6cm，包装纸面积1080cm²；
结论：第1种方法最节省包装纸，需要900cm²的包装纸。
【知识点】
长方体表面积计算，立体图形拼接（包装问题）
【点评】
本题考查长方体包装问题的实际应用，核心是理解：将两个长方体拼接时，重合的面面积越大，新长方体的表面积减少越多，也就越节省包装材料。解题时需准确分析拼接后长方体的长、宽、高变化，再利用表面积公式计算比较。
【难度系数】
0.7
要解决这个包装问题，首先明确：将两个相同的长方体包装成一包，本质是把两个长方体的某一组相同的面重合，从而形成新的大长方体。长方体有3组不同的面，因此有3种包装方法。
步骤1：确定三种重合方式对应的新长方体的长、宽、高：
第一种：把两个长方体的最大面（15×10）重合，此时新长方体的长和宽不变，高变为原来的2倍（6×2=12cm）；
第二种：把两个长方体的中等面（15×6）重合，此时新长方体的长和高不变，宽变为原来的2倍（10×2=20cm）；
第三种：把两个长方体的最小面（10×6）重合，此时新长方体的宽和高不变，长变为原来的2倍（15×2=30cm）。
步骤2：根据长方体表面积公式“长方体表面积=2×(长×宽+长×高+宽×高)”，分别计算三种方法的包装纸面积（即新长方体的表面积），比较大小后，表面积最小的就是最节省包装纸的方法。
【解析】
步骤1：确定三种包装方法的长、宽、高
|方法|长/cm|宽/cm|高/cm|
|----|----|----|----|
|第1种|15|10|12|
|第2种|15|20|6|
|第3种|30|10|6|
步骤2：计算每种方法的包装纸面积（表面积）
第1种：
$\begin{aligned}\mathrm{表面积}&=2×(15×10 + 15×12 + 10×12)\\&=2×(150 + 180 + 120)\\&=2×450\\&=900(\mathrm{cm}^2)\end{aligned}$
第2种：
$\begin{aligned}\mathrm{表面积}&=2×(15×20 + 15×6 + 20×6)\\&=2×(300 + 90 + 120)\\&=2×510\\&=1020(\mathrm{cm}^2)\end{aligned}$
第3种：
$\begin{aligned}\mathrm{表面积}&=2×(30×10 + 30×6 + 10×6)\\&=2×(300 + 180 + 60)\\&=2×540\\&=1080(\mathrm{cm}^2)\end{aligned}$
步骤3：比较表面积大小，得出结论
因为$900＜1020＜1080$，所以第1种方法最节省包装纸。
【答案】
三种包装方法的参数及包装纸面积：
第1种：长15cm、宽10cm、高12cm，包装纸面积900cm²；
第2种：长15cm、宽20cm、高6cm，包装纸面积1020cm²；
第3种：长30cm、宽10cm、高6cm，包装纸面积1080cm²；
结论：第1种方法最节省包装纸，需要900cm²的包装纸。
【知识点】
长方体表面积计算，立体图形拼接（包装问题）
【点评】
本题考查长方体包装问题的实际应用，核心是理解：将两个长方体拼接时，重合的面面积越大，新长方体的表面积减少越多，也就越节省包装材料。解题时需准确分析拼接后长方体的长、宽、高变化，再利用表面积公式计算比较。
【难度系数】
0.7
2. 把下面两个长方体纸盒包装在一起，接口处不计，最少需要多少平方厘米的包装纸？画一画，算一算。（单位：厘米）
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答案
底面重合时，需要的包装纸最少。
此时的高为2+2=4(厘米)
2×(8×4+8×4+4×4)=160(平方厘米)
答：最少需要160平方厘米的包装纸。
此时的高为2+2=4(厘米)
2×(8×4+8×4+4×4)=160(平方厘米)
答：最少需要160平方厘米的包装纸。
解析
【分析】
要想使用的包装纸最少，就要让两个长方体拼合后减少的表面积最大，也就是把两个长方体最大的面重合在一起。观察长方体的尺寸，长8cm、宽4cm、高2cm，其中长×宽的面（8×4）是最大的面，将这两个面重合拼合后，新长方体的高变为2+2=4cm，长和宽不变，再根据长方体表面积公式计算所需包装纸的面积。
【解析】
1. 确定最优拼合方式：把两个长方体的最大面（长8cm、宽4cm的面）重合，此时新长方体的高为：$2+2=4$（厘米），长为8厘米，宽为4厘米。
2. 根据长方体表面积公式$S=2(ab+ah+bh)$（其中$a$为长，$b$为宽，$h$为高），代入数据计算：
$\begin{aligned}S&=2×(8×4+8×4+4×4)\\&=2×(32+32+16)\\&=2×80\\&=160\end{aligned}$
【答案】
最少需要160平方厘米的包装纸。
【知识点】
长方体表面积计算，立体图形拼合优化
【点评】
本题考查长方体表面积的实际应用，核心思路是通过重合最大面减少总表面积，从而节省包装纸，解题时需先确定拼合后立体图形的尺寸，再准确运用表面积公式计算。
【难度系数】
0.7
要想使用的包装纸最少，就要让两个长方体拼合后减少的表面积最大，也就是把两个长方体最大的面重合在一起。观察长方体的尺寸，长8cm、宽4cm、高2cm，其中长×宽的面（8×4）是最大的面，将这两个面重合拼合后，新长方体的高变为2+2=4cm，长和宽不变，再根据长方体表面积公式计算所需包装纸的面积。
【解析】
1. 确定最优拼合方式：把两个长方体的最大面（长8cm、宽4cm的面）重合，此时新长方体的高为：$2+2=4$（厘米），长为8厘米，宽为4厘米。
2. 根据长方体表面积公式$S=2(ab+ah+bh)$（其中$a$为长，$b$为宽，$h$为高），代入数据计算：
$\begin{aligned}S&=2×(8×4+8×4+4×4)\\&=2×(32+32+16)\\&=2×80\\&=160\end{aligned}$
【答案】
最少需要160平方厘米的包装纸。
【知识点】
长方体表面积计算，立体图形拼合优化
【点评】
本题考查长方体表面积的实际应用，核心思路是通过重合最大面减少总表面积，从而节省包装纸，解题时需先确定拼合后立体图形的尺寸，再准确运用表面积公式计算。
【难度系数】
0.7
