登录
变式训练
2. 如图，在 $□ ABCD$ 中，点 $E$，$F$ 分别在 $AD$，$BC$ 上，且 $AE = CF$，$EF$，$BD$ 相交于点 $O$，求证：$OE = OF$。
2. 如图，在 $□ ABCD$ 中，点 $E$，$F$ 分别在 $AD$，$BC$ 上，且 $AE = CF$，$EF$，$BD$ 相交于点 $O$，求证：$OE = OF$。
答案
变式训练
2. 证明: 因为四边形ABCD是平行四边形, 所以AD//BC, AD=BC, 所以∠ODE=∠OBF. 因为AE=CF, 所以DE=BF. 在△DOE和△BOF中, {∠DOE=∠BOF, ∠ODE=∠OBF, DE=BF}, 所以△DOE≌△BOF(AAS), 所以OE=OF.
2. 证明: 因为四边形ABCD是平行四边形, 所以AD//BC, AD=BC, 所以∠ODE=∠OBF. 因为AE=CF, 所以DE=BF. 在△DOE和△BOF中, {∠DOE=∠BOF, ∠ODE=∠OBF, DE=BF}, 所以△DOE≌△BOF(AAS), 所以OE=OF.
解析
【解析】
证明：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AD// BC$，$AD=BC$，
∴$∠ ODE=∠ OBF$。
∵$AE=CF$，
∴$AD-AE=BC-CF$，即$DE=BF$。
在$△ DOE$和$△ BOF$中，
$\begin{cases}∠ DOE=∠ BOF \\∠ ODE=∠ OBF \\DE=BF\end{cases}$
∴$△ DOE≌△ BOF(AAS)$，
∴$OE=OF$。
【答案】
$OE=OF$得证
【知识点】
平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题主要考查平行四边形的性质及全等三角形的判定与性质的综合运用，通过平行四边形对边平行且相等的性质推导全等条件，进而证明线段相等，是平行四边形相关证明的常见题型。
【难度系数】
0.6
证明：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AD// BC$，$AD=BC$，
∴$∠ ODE=∠ OBF$。
∵$AE=CF$，
∴$AD-AE=BC-CF$，即$DE=BF$。
在$△ DOE$和$△ BOF$中，
$\begin{cases}∠ DOE=∠ BOF \\∠ ODE=∠ OBF \\DE=BF\end{cases}$
∴$△ DOE≌△ BOF(AAS)$，
∴$OE=OF$。
【答案】
$OE=OF$得证
【知识点】
平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题主要考查平行四边形的性质及全等三角形的判定与性质的综合运用，通过平行四边形对边平行且相等的性质推导全等条件，进而证明线段相等，是平行四边形相关证明的常见题型。
【难度系数】
0.6
1. 已知在 $□ ABCD$ 中，$∠ A + ∠ C = 140°$，则 $∠ D$ 的度数是(
A.$50°$
B.$65°$
C.$110°$
D.$130°$
C
)A.$50°$
B.$65°$
C.$110°$
D.$130°$
答案
1. C
解析
【解析】
在平行四边形$ABCD$中，根据平行四边形的性质：对角相等，邻角互补。
已知$∠A + ∠C = 140°$，且$∠A = ∠C$，所以$∠A = ∠C = 140°÷2 = 70°$。
又因为$∠A$与$∠D$是邻角，互补，即$∠A + ∠D = 180°$，所以$∠D = 180° - 70° = 110°$。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的性质
【点评】
本题考查平行四边形的基本性质，重点考查对角相等、邻角互补的角的关系，属于基础题型，需熟练掌握平行四边形的角的特征。
【难度系数】
0.8
在平行四边形$ABCD$中，根据平行四边形的性质：对角相等，邻角互补。
已知$∠A + ∠C = 140°$，且$∠A = ∠C$，所以$∠A = ∠C = 140°÷2 = 70°$。
又因为$∠A$与$∠D$是邻角，互补，即$∠A + ∠D = 180°$，所以$∠D = 180° - 70° = 110°$。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的性质
【点评】
本题考查平行四边形的基本性质，重点考查对角相等、邻角互补的角的关系，属于基础题型，需熟练掌握平行四边形的角的特征。
【难度系数】
0.8
2. 在 $□ ABCD$ 中，$∠ B : ∠ C = 1 : 3$，则 $∠ D$ 的度数为(
A.$135°$
B.$35°$
C.$45°$
D.$145°$
C
)A.$135°$
B.$35°$
C.$45°$
D.$145°$
答案
2. C
解析
【解析】
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$∠B + ∠C = 180°$（平行四边形邻角互补），$∠D = ∠B$（平行四边形对角相等）。
设$∠B = x$，则$∠C = 3x$，
由$x + 3x = 180°$，解得$x = 45°$，
∴$∠D = ∠B = 45°$。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的性质
【点评】
本题考查平行四边形的角的性质，通过邻角互补建立方程求解角度，属于基础题，需熟练掌握平行四边形邻角互补、对角相等的性质。
【难度系数】
0.8
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$∠B + ∠C = 180°$（平行四边形邻角互补），$∠D = ∠B$（平行四边形对角相等）。
设$∠B = x$，则$∠C = 3x$，
由$x + 3x = 180°$，解得$x = 45°$，
∴$∠D = ∠B = 45°$。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的性质
【点评】
本题考查平行四边形的角的性质，通过邻角互补建立方程求解角度，属于基础题，需熟练掌握平行四边形邻角互补、对角相等的性质。
【难度系数】
0.8
3. 如图，在 $□ ABCD$ 中，$AB = 6$，$AD = 11$，$∠ ABC$ 的平分线交 $AD$ 于点 $E$，交 $CD$ 的延长线于点 $F$，则 $DF =$(
A.$4$
B.$5$
C.$6$
D.$7$
B
)A.$4$
B.$5$
C.$6$
D.$7$
答案
3. B
解析
【解析】
∵ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
∴ $AB // CD$，$AD = BC = 11$，$AB = CD = 6$，
∴ $∠ ABE = ∠ F$，
∵ $BF$ 平分 $∠ ABC$，
∴ $∠ ABE = ∠ CBF$，
∴ $∠ CBF = ∠ F$，
∴ $BC = CF = 11$，
∴ $DF = CF - CD = 11 - 6 = 5$。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题考查平行四边形性质与等腰三角形判定的综合运用，借助平行四边形对边平行且相等的性质，结合角平分线推导得出等腰三角形，进而求解线段长度，侧重对基础几何性质的灵活应用。
【难度系数】
0.7
∵ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
∴ $AB // CD$，$AD = BC = 11$，$AB = CD = 6$，
∴ $∠ ABE = ∠ F$，
∵ $BF$ 平分 $∠ ABC$，
∴ $∠ ABE = ∠ CBF$，
∴ $∠ CBF = ∠ F$，
∴ $BC = CF = 11$，
∴ $DF = CF - CD = 11 - 6 = 5$。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题考查平行四边形性质与等腰三角形判定的综合运用，借助平行四边形对边平行且相等的性质，结合角平分线推导得出等腰三角形，进而求解线段长度，侧重对基础几何性质的灵活应用。
【难度系数】
0.7
4. 如图，在 $□ ABCD$ 中，$E$ 是 $BC$ 边上一点，$BE = CD$，连接 $AE$，$∠ D = 50°$，则 $∠ DAE$ 的度数为(
A.$65°$
B.$60°$
C.$55°$
D.$50°$
A
)A.$65°$
B.$60°$
C.$55°$
D.$50°$
答案
4. A
解析
【解析】
在平行四边形$ABCD$中，$AD// BC$，$AB=CD$，$∠ B=∠ D=50°$。
因为$BE=CD$，所以$BE=AB$，则$△ ABE$为等腰三角形，$∠ BAE=∠ BEA$。
根据三角形内角和定理，$∠ BAE=\frac{180°-∠ B}{2}=\frac{180°-50°}{2}=65°$。
由$AD// BC$，内错角相等，得$∠ DAE=∠ BEA=65°$。
【答案】
A
【知识点】
平行四边形性质，等腰三角形性质，平行线的性质
【点评】
本题综合考查平行四边形、等腰三角形及平行线的性质，熟练掌握相关性质是解题的核心。
【难度系数】
0.7
在平行四边形$ABCD$中，$AD// BC$，$AB=CD$，$∠ B=∠ D=50°$。
因为$BE=CD$，所以$BE=AB$，则$△ ABE$为等腰三角形，$∠ BAE=∠ BEA$。
根据三角形内角和定理，$∠ BAE=\frac{180°-∠ B}{2}=\frac{180°-50°}{2}=65°$。
由$AD// BC$，内错角相等，得$∠ DAE=∠ BEA=65°$。
【答案】
A
【知识点】
平行四边形性质，等腰三角形性质，平行线的性质
【点评】
本题综合考查平行四边形、等腰三角形及平行线的性质，熟练掌握相关性质是解题的核心。
【难度系数】
0.7
