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【例1】如图，在 $□ ABCD$ 中，$AB = 10$，$AD = 14$，$DE$ 平分 $∠ ADC$，交 $BC$ 于点 $E$。
（1）求 $□ ABCD$ 的周长。
（2）若 $∠ DEC = 25°$，求 $∠ B$ 的度数。
解：
【规律方法】
（1）在平行四边形中，已知一个内角的度数，利用其对角相等、邻角互补的性质，可以求出其余三个内角的大小。
（2）根据平行四边形的对边相等的性质可知，平行四边形的周长是两邻边长和的 $2$ 倍。
（3）要求平行四边形的面积，需知道平行四边形的底和高。有时需先作辅助线表示出高，再利用直角三角形的性质求高，最后求平行四边形的面积。
（1）求 $□ ABCD$ 的周长。
（2）若 $∠ DEC = 25°$，求 $∠ B$ 的度数。
解：
【规律方法】
（1）在平行四边形中，已知一个内角的度数，利用其对角相等、邻角互补的性质，可以求出其余三个内角的大小。
（2）根据平行四边形的对边相等的性质可知，平行四边形的周长是两邻边长和的 $2$ 倍。
（3）要求平行四边形的面积，需知道平行四边形的底和高。有时需先作辅助线表示出高，再利用直角三角形的性质求高，最后求平行四边形的面积。
答案
【例1】解: (1)48.
(2)∠B=50°
(2)∠B=50°
解析
【解析】
（1）
∵四边形$ABCD$是平行四边形，$AB = 10$，$AD = 14$，
∴$AB=CD=10$，$AD=BC=14$（平行四边形对边相等），
∴$□ ABCD$的周长为$2×(AB+AD)=2×(10+14)=48$。
（2）
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AD// BC$（平行四边形对边平行），$∠B=∠ADC$（平行四边形对角相等），
∴$∠ADE=∠DEC=25°$（两直线平行，内错角相等），
∵$DE$平分$∠ADC$，
∴$∠ADC=2∠ADE=50°$，
∴$∠B=∠ADC=50°$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{48}$；（2）$\boldsymbol{∠B=50°}$
【知识点】
平行四边形的性质，角平分线的定义
【点评】
本题考查平行四边形性质与角平分线定义的综合应用，需熟练运用平行四边形对边相等、对边平行、对角相等的性质来解决周长计算与角度求解问题，属于基础题型。
【难度系数】
0.7
（1）
∵四边形$ABCD$是平行四边形，$AB = 10$，$AD = 14$，
∴$AB=CD=10$，$AD=BC=14$（平行四边形对边相等），
∴$□ ABCD$的周长为$2×(AB+AD)=2×(10+14)=48$。
（2）
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AD// BC$（平行四边形对边平行），$∠B=∠ADC$（平行四边形对角相等），
∴$∠ADE=∠DEC=25°$（两直线平行，内错角相等），
∵$DE$平分$∠ADC$，
∴$∠ADC=2∠ADE=50°$，
∴$∠B=∠ADC=50°$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{48}$；（2）$\boldsymbol{∠B=50°}$
【知识点】
平行四边形的性质，角平分线的定义
【点评】
本题考查平行四边形性质与角平分线定义的综合应用，需熟练运用平行四边形对边相等、对边平行、对角相等的性质来解决周长计算与角度求解问题，属于基础题型。
【难度系数】
0.7
变式训练
1. 如图所示，在 $□ ABCD$ 中，$AE ⊥ BC$ 于点 $E$，$AF ⊥ CD$ 于点 $F$，$∠ BAD = 120°$，$BE = 2$，$FD = 3$。
（1）求 $∠ EAF$ 的度数。
（2）求 $□ ABCD$ 的周长和面积。
1. 如图所示，在 $□ ABCD$ 中，$AE ⊥ BC$ 于点 $E$，$AF ⊥ CD$ 于点 $F$，$∠ BAD = 120°$，$BE = 2$，$FD = 3$。
（1）求 $∠ EAF$ 的度数。
（2）求 $□ ABCD$ 的周长和面积。
答案
变式训练
1. 解: (1)∠EAF=60°
(2)□ABCD的周长为20, □ABCD的面积为12√{3}.
1. 解: (1)∠EAF=60°
(2)□ABCD的周长为20, □ABCD的面积为12√{3}.
解析
【解析】
（1）在$□ ABCD$中，$AD// BC$，$∠ BAD=120°$，
所以$∠ B=180°-∠ BAD=60°$，$∠ C=∠ BAD=120°$。
因为$AE⊥ BC$，$AF⊥ CD$，所以$∠ AEB=∠ AFC=90°$。
在四边形$AECF$中，$∠ EAF=360°-∠ AEB-∠ AFC-∠ C=360°-90°-90°-120°=60°$。
（2）在$Rt△ ABE$中，$∠ B=60°$，则$∠ BAE=30°$，
所以$AB=2BE=2×2=4$。
在$Rt△ ADF$中，$∠ D=60°$，则$∠ DAF=30°$，
所以$AD=2FD=2×3=6$。
$□ ABCD$的周长为$2(AB+AD)=2×(4+6)=20$。
在$Rt△ ABE$中，由勾股定理得$AE=\sqrt{AB^2-BE^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$，
$□ ABCD$的面积为$BC· AE=6×2\sqrt{3}=12\sqrt{3}$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{∠ EAF=60°}$；（2）$\boldsymbol{□ ABCD}$的周长为$\boldsymbol{20}$，面积为$\boldsymbol{12\sqrt{3}}$
【知识点】
平行四边形的性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题综合考查平行四边形与直角三角形的性质，需熟练运用平行四边形的对边相等、内角互补，以及含30°角的直角三角形的边长关系与勾股定理，理清角度和边长的关系是解题核心。
【难度系数】
0.6
（1）在$□ ABCD$中，$AD// BC$，$∠ BAD=120°$，
所以$∠ B=180°-∠ BAD=60°$，$∠ C=∠ BAD=120°$。
因为$AE⊥ BC$，$AF⊥ CD$，所以$∠ AEB=∠ AFC=90°$。
在四边形$AECF$中，$∠ EAF=360°-∠ AEB-∠ AFC-∠ C=360°-90°-90°-120°=60°$。
（2）在$Rt△ ABE$中，$∠ B=60°$，则$∠ BAE=30°$，
所以$AB=2BE=2×2=4$。
在$Rt△ ADF$中，$∠ D=60°$，则$∠ DAF=30°$，
所以$AD=2FD=2×3=6$。
$□ ABCD$的周长为$2(AB+AD)=2×(4+6)=20$。
在$Rt△ ABE$中，由勾股定理得$AE=\sqrt{AB^2-BE^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$，
$□ ABCD$的面积为$BC· AE=6×2\sqrt{3}=12\sqrt{3}$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{∠ EAF=60°}$；（2）$\boldsymbol{□ ABCD}$的周长为$\boldsymbol{20}$，面积为$\boldsymbol{12\sqrt{3}}$
【知识点】
平行四边形的性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题综合考查平行四边形与直角三角形的性质，需熟练运用平行四边形的对边相等、内角互补，以及含30°角的直角三角形的边长关系与勾股定理，理清角度和边长的关系是解题核心。
【难度系数】
0.6
【例2】如图，在 $□ ABCD$ 中，点 $E$，$F$ 分别在边 $AD$，$BC$ 上，$∠ 1 = ∠ 2$。求证：$DE = BF$。
思路分析
思考1：要证明 $DE = BF$，可证明哪两个三角形全等？
思考2：证明这两个三角形全等，需要证明哪些条件？
证明：
【规律方法】
利用平行四边形的性质可得等角和等边，进而由等角和等边证明相关三角形全等，这是平行四边形中证明等量关系的常用方法和思路。
思路分析
思考1：要证明 $DE = BF$，可证明哪两个三角形全等？
思考2：证明这两个三角形全等，需要证明哪些条件？
证明：
【规律方法】
利用平行四边形的性质可得等角和等边，进而由等角和等边证明相关三角形全等，这是平行四边形中证明等量关系的常用方法和思路。
答案
【例2】
思路分析
思考1: △CDE≌△ABF.
思考2: 需要证明CD=AB, ∠D=∠B, ∠2=∠AFB.
证明: 因为四边形ABCD是平行四边形, 所以AD//CB, CD=AB, ∠D=∠B, 所以∠1=∠AFB. 因为∠1=∠2, 所以∠2=∠AFB. 在△CDE和△ABF中, {∠2=∠AFB, ∠D=∠B, CD=AB}, 所以△CDE≌△ABF(AAS), 所以DE=BF.
思路分析
思考1: △CDE≌△ABF.
思考2: 需要证明CD=AB, ∠D=∠B, ∠2=∠AFB.
证明: 因为四边形ABCD是平行四边形, 所以AD//CB, CD=AB, ∠D=∠B, 所以∠1=∠AFB. 因为∠1=∠2, 所以∠2=∠AFB. 在△CDE和△ABF中, {∠2=∠AFB, ∠D=∠B, CD=AB}, 所以△CDE≌△ABF(AAS), 所以DE=BF.
解析
【解析】
思路分析：
思考1：要证明$DE = BF$，可证明$△ CDE≌△ ABF$。
思考2：证明这两个三角形全等，需要证明$CD=AB$，$∠ D=∠ B$，$∠ 2=∠ AFB$。
证明：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AD// CB$，$CD=AB$，$∠ D=∠ B$，
∴$∠ 1=∠ AFB$（两直线平行，同位角相等）。
∵$∠ 1=∠ 2$，
∴$∠ 2=∠ AFB$。
在$△ CDE$和$△ ABF$中，
$\begin{cases}∠ 2=∠ AFB\\∠ D=∠ B\\CD=AB\end{cases}$
∴$△ CDE≌△ ABF$（AAS），
∴$DE=BF$。
【答案】
$DE = BF$，证明如上。
【知识点】
平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质
【点评】
本题考查平行四边形性质与全等三角形的综合应用，利用平行四边形的性质得到全等所需的边和角的条件，进而通过全等三角形的性质得到线段相等，是平行四边形中证明线段等量关系的典型思路。
【难度系数】
0.6
思路分析：
思考1：要证明$DE = BF$，可证明$△ CDE≌△ ABF$。
思考2：证明这两个三角形全等，需要证明$CD=AB$，$∠ D=∠ B$，$∠ 2=∠ AFB$。
证明：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AD// CB$，$CD=AB$，$∠ D=∠ B$，
∴$∠ 1=∠ AFB$（两直线平行，同位角相等）。
∵$∠ 1=∠ 2$，
∴$∠ 2=∠ AFB$。
在$△ CDE$和$△ ABF$中，
$\begin{cases}∠ 2=∠ AFB\\∠ D=∠ B\\CD=AB\end{cases}$
∴$△ CDE≌△ ABF$（AAS），
∴$DE=BF$。
【答案】
$DE = BF$，证明如上。
【知识点】
平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质
【点评】
本题考查平行四边形性质与全等三角形的综合应用，利用平行四边形的性质得到全等所需的边和角的条件，进而通过全等三角形的性质得到线段相等，是平行四边形中证明线段等量关系的典型思路。
【难度系数】
0.6
