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5. 如图，在 $□ ABCD$ 中，$E$ 是 $DC$ 边上一点，连接 $AE$，$BE$。已知 $AE$ 是 $∠ DAB$ 的平分线，$BE$ 是 $∠ CBA$ 的平分线，若 $AE = 3$，$BE = 2$，则 $□ ABCD$ 的面积为(
A.$3$
B.$6$
C.$8$
D.$12$
B
)A.$3$
B.$6$
C.$8$
D.$12$
答案
5. B
解析
【解析】
1. 在平行四边形$ABCD$中，$AD// BC$，根据平行线性质，$∠ DAB+∠ CBA=180°$。
2. 因为$AE$平分$∠ DAB$，$BE$平分$∠ CBA$，所以$∠ EAB=\frac{1}{2}∠ DAB$，$∠ EBA=\frac{1}{2}∠ CBA$，则$∠ EAB+∠ EBA=\frac{1}{2}(∠ DAB+∠ CBA)=90°$，故$∠ AEB=90°$，即$△ AEB$是直角三角形。
3. 计算$△ AEB$的面积：$S_{△ AEB}=\frac{1}{2}× AE× BE=\frac{1}{2}×3×2=3$。
4. 平行四边形$ABCD$的面积是$2S_{△ AEB}=2×3=6$。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的性质，角平分线的定义，直角三角形面积计算
【点评】
本题综合考查平行四边形性质、角平分线定义及直角三角形的相关知识，解题关键是利用平行四边形邻角互补结合角平分线推出$∠ AEB=90°$，进而通过三角形面积求出平行四边形面积。
【难度系数】
0.6
1. 在平行四边形$ABCD$中，$AD// BC$，根据平行线性质，$∠ DAB+∠ CBA=180°$。
2. 因为$AE$平分$∠ DAB$，$BE$平分$∠ CBA$，所以$∠ EAB=\frac{1}{2}∠ DAB$，$∠ EBA=\frac{1}{2}∠ CBA$，则$∠ EAB+∠ EBA=\frac{1}{2}(∠ DAB+∠ CBA)=90°$，故$∠ AEB=90°$，即$△ AEB$是直角三角形。
3. 计算$△ AEB$的面积：$S_{△ AEB}=\frac{1}{2}× AE× BE=\frac{1}{2}×3×2=3$。
4. 平行四边形$ABCD$的面积是$2S_{△ AEB}=2×3=6$。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的性质，角平分线的定义，直角三角形面积计算
【点评】
本题综合考查平行四边形性质、角平分线定义及直角三角形的相关知识，解题关键是利用平行四边形邻角互补结合角平分线推出$∠ AEB=90°$，进而通过三角形面积求出平行四边形面积。
【难度系数】
0.6
6. 如图，在平面直角坐标系中，四边形 $OABC$ 是平行四边形，其中点 $A$ 在 $x$ 轴正半轴上。若 $BC = 4$，则点 $A$ 的坐标是
(4,0)
。答案
6. (4,0)
解析
【解析】
根据平行四边形对边相等的性质，在平行四边形$OABC$中，$OA=BC$。
已知$BC=4$，则$OA=4$。
又因为点$A$在$x$轴正半轴上，所以点$A$的坐标是$(4,0)$。
【答案】
$(4,0)$
【知识点】
平行四边形对边相等；平面直角坐标系点的坐标
【点评】
本题考查平行四边形性质与平面直角坐标系的结合，难度较低，熟练掌握平行四边形对边相等的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.9
根据平行四边形对边相等的性质，在平行四边形$OABC$中，$OA=BC$。
已知$BC=4$，则$OA=4$。
又因为点$A$在$x$轴正半轴上，所以点$A$的坐标是$(4,0)$。
【答案】
$(4,0)$
【知识点】
平行四边形对边相等；平面直角坐标系点的坐标
【点评】
本题考查平行四边形性质与平面直角坐标系的结合，难度较低，熟练掌握平行四边形对边相等的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.9
7. 如图，在 $□ ABCD$ 中，$E$ 是 $BC$ 上的一点，且 $AB = BE$，$AE$，$DC$ 的延长线相交于点 $F$，$∠ F = 62°$，求 $∠ D$ 的度数。
答案
7. 解: ∠D=56°
解析
【解析】
1. 因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AB// DC$，$∠ D = ∠ B$。
2. 由$AB// DC$，根据“两直线平行，内错角相等”，可得$∠ F = ∠ BAE = 62°$。
3. 因为$AB = BE$，所以$△ ABE$是等腰三角形，$∠ BAE = ∠ BEA = 62°$。
4. 在$△ ABE$中，根据三角形内角和为$180°$，可得$∠ B = 180° - 62° - 62° = 56°$。
5. 结合$∠ D = ∠ B$，所以$∠ D = 56°$。
【答案】
$\boldsymbol{56°}$
【知识点】
平行四边形的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题主要考查平行四边形的性质、等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合应用，熟练掌握平行四边形对边平行且对角相等的性质是解题关键。
【难度系数】
0.6
1. 因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AB// DC$，$∠ D = ∠ B$。
2. 由$AB// DC$，根据“两直线平行，内错角相等”，可得$∠ F = ∠ BAE = 62°$。
3. 因为$AB = BE$，所以$△ ABE$是等腰三角形，$∠ BAE = ∠ BEA = 62°$。
4. 在$△ ABE$中，根据三角形内角和为$180°$，可得$∠ B = 180° - 62° - 62° = 56°$。
5. 结合$∠ D = ∠ B$，所以$∠ D = 56°$。
【答案】
$\boldsymbol{56°}$
【知识点】
平行四边形的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题主要考查平行四边形的性质、等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合应用，熟练掌握平行四边形对边平行且对角相等的性质是解题关键。
【难度系数】
0.6
8. 如图，在 $□ ABCD$ 中，点 $E$ 在 $CD$ 上，连接 $AE$，$AE = AB$，在 $AE$ 上取一点 $F$，使得 $AF = DE$，连接 $BF$。求证：$BF = BC$。
答案
8. 证明: 因为四边形ABCD是平行四边形, 所以AB//CD, AD=BC, 所以∠BAE=∠AED. 又因为AE=AB, AF=ED, 所以△ABF≌△EAD(SAS), 所以AD=BF, 所以BF=BC.
解析
【解析】
证明：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AB// CD$，$AD=BC$，
∴$∠BAE=∠AED$。
又
∵$AE=AB$，$AF=ED$，
∴$△ ABF≌△ EAD$（SAS），
∴$AD=BF$，
∴$BF=BC$。
【答案】
$BF=BC$得证
【知识点】
平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质
【点评】
本题主要考查平行四边形的性质及全等三角形的判定与性质的综合运用，通过平行四边形的性质得到角和边的关系，再利用SAS证明三角形全等，进而完成线段的等量转化。
【难度系数】
0.6
证明：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AB// CD$，$AD=BC$，
∴$∠BAE=∠AED$。
又
∵$AE=AB$，$AF=ED$，
∴$△ ABF≌△ EAD$（SAS），
∴$AD=BF$，
∴$BF=BC$。
【答案】
$BF=BC$得证
【知识点】
平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质
【点评】
本题主要考查平行四边形的性质及全等三角形的判定与性质的综合运用，通过平行四边形的性质得到角和边的关系，再利用SAS证明三角形全等，进而完成线段的等量转化。
【难度系数】
0.6
9. 如图，在 $□ ABCD$ 中，$∠ DAB$ 的平分线交 $CD$ 于点 $E$，且 $DE = 5$，$EC = 8$。
（1）求 $□ ABCD$ 的周长。
（2）连接 $AC$，若 $AC = 12$，求 $□ ABCD$ 的面积。
（1）求 $□ ABCD$ 的周长。
（2）连接 $AC$，若 $AC = 12$，求 $□ ABCD$ 的面积。
答案
9. 解: (1)36. (2)60.
解析
【解析】
（1）在$□ ABCD$中，$AB// CD$，$AB=CD$，$AD=BC$。
因为$AE$平分$∠ DAB$，所以$∠ DAE=∠ BAE$。
由$AB// CD$得$∠ BAE=∠ AED$，故$∠ DAE=∠ AED$，所以$AD=DE=5$。
已知$DE=5$，$EC=8$，则$CD=DE+EC=13$。
$□ ABCD$的周长为$2(AD+CD)=2×(5+13)=36$。
（2）在$△ ACD$中，$AD=5$，$AC=12$，$CD=13$，
因为$5^2+12^2=13^2$，根据勾股定理逆定理可知$△ ACD$是直角三角形，$∠ DAC=90°$。
$△ ACD$的面积为$\frac{1}{2}× AD× AC=\frac{1}{2}×5×12=30$，
$□ ABCD$的面积为$2×30=60$。
【答案】
（1）$\boxed{36}$；（2）$\boxed{60}$
【知识点】
平行四边形性质；勾股定理逆定理；角平分线性质
【点评】
本题考查平行四边形性质与勾股定理逆定理的综合应用，解题关键是利用角平分线和平行线的性质推导出等腰三角形以求得边长，再通过勾股定理逆定理判断直角三角形求解面积。
【难度系数】
0.6
（1）在$□ ABCD$中，$AB// CD$，$AB=CD$，$AD=BC$。
因为$AE$平分$∠ DAB$，所以$∠ DAE=∠ BAE$。
由$AB// CD$得$∠ BAE=∠ AED$，故$∠ DAE=∠ AED$，所以$AD=DE=5$。
已知$DE=5$，$EC=8$，则$CD=DE+EC=13$。
$□ ABCD$的周长为$2(AD+CD)=2×(5+13)=36$。
（2）在$△ ACD$中，$AD=5$，$AC=12$，$CD=13$，
因为$5^2+12^2=13^2$，根据勾股定理逆定理可知$△ ACD$是直角三角形，$∠ DAC=90°$。
$△ ACD$的面积为$\frac{1}{2}× AD× AC=\frac{1}{2}×5×12=30$，
$□ ABCD$的面积为$2×30=60$。
【答案】
（1）$\boxed{36}$；（2）$\boxed{60}$
【知识点】
平行四边形性质；勾股定理逆定理；角平分线性质
【点评】
本题考查平行四边形性质与勾股定理逆定理的综合应用，解题关键是利用角平分线和平行线的性质推导出等腰三角形以求得边长，再通过勾股定理逆定理判断直角三角形求解面积。
【难度系数】
0.6
