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7. 如图，在平行四边形$ABCD$中，点$E$为$BC$上一点，连接$AE$并延长交$DC$的延长线于点$F$，$AD = DF$，连接$DE$。
（1）求证：$AE$平分$∠ BAD$。
（2）若点$E$为$BC$的中点，求证：$DE ⊥ AF$。
（3）若$AE = 13$，$DE = 15$，$AD = 14$，求平行四边形$ABCD$的面积。
（1）求证：$AE$平分$∠ BAD$。
（2）若点$E$为$BC$的中点，求证：$DE ⊥ AF$。
（3）若$AE = 13$，$DE = 15$，$AD = 14$，求平行四边形$ABCD$的面积。
答案
7. (1) 证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//DF，
∴∠BAE=∠AFD.
∵AD=DF，
∴∠DAE=∠AFD，
∴∠BAE=∠DAE，
∴AE平分∠BAD.
(2) 证明：
∵点E为BC的中点，
∴BE=EC.
∵∠BAE=∠AFD，∠AEB=∠FEC，
∴△ABE≌△FCE（AAS），
∴AE=EF.
∵AD=DF，
∴DE⊥AF.
(3) 解：如图，过点E作EM⊥AD于点M，设AM=x，则DM=14 - x. 根据勾股定理得13² - x² = 15² - (14 - x)²，解得x=5，
∴EM=√{AE² - AM²}=12，
∴$S_{□ABCD}=EM·AD=168.$
8. 在$□ ABCD$中，对角线$AC ⊥ AB$，$BE$平分$∠ ABC$交$AD$于点$E$，交$AC$于点$F$。
（1）求证：$AE = AB$。
（2）若$AB = 3$，$BC = 5$，求$AF$的长。
（1）求证：$AE = AB$。
（2）若$AB = 3$，$BC = 5$，求$AF$的长。
答案
8. (1) 证明：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠AEB=∠EBC.
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AE=AB.
(2) 解：AC⊥AB，AB=3，BC=5，
∴AC=√{BC² - AB²}=√{5² - 3²}=4，过点F作FH⊥BC，垂足为H，
∵BE平分∠ABC，AC⊥AB，
∴AF=FH.
∵S_{△ABC}=S_{△ABF}+S_{△BFC}，
∴$\frac{1}{2}$AB·AC=$\frac{1}{2}$AB·AF+$\frac{1}{2}$BC·FH，即$\frac{1}{2}$×3×4=$\frac{1}{2}$×3·AF+$\frac{1}{2}$×5·AF，
∴AF=$\frac{3}{2}$.
解析
【解析】
(1) 证明：
∵四边形$ABCD$为平行四边形，
∴$AD// BC$，
∴$∠ AEB = ∠ EBC$。
∵$BE$平分$∠ ABC$，
∴$∠ ABE = ∠ EBC$，
∴$∠ ABE = ∠ AEB$，
∴$AE = AB$。
(2) 解：
∵$AC⊥ AB$，$AB = 3$，$BC = 5$，
∴$AC=\sqrt{BC^{2}-AB^{2}}=\sqrt{5^{2}-3^{2}} = 4$。
过点$F$作$FH⊥ BC$，垂足为$H$，
∵$BE$平分$∠ ABC$，$AC⊥ AB$，
∴$AF = FH$。
∵$S_{△ ABC}=S_{△ ABF}+S_{△ BFC}$，
∴$\frac{1}{2}AB· AC=\frac{1}{2}AB· AF+\frac{1}{2}BC· FH$，即$\frac{1}{2}×3×4=\frac{1}{2}×3· AF+\frac{1}{2}×5· AF$，
$\begin{aligned}\frac{1}{2}×3×4&=\frac{1}{2}×3· AF+\frac{1}{2}×5· AF\\6&=\frac{3}{2}AF+\frac{5}{2}AF\\6&=4AF\\AF&=\frac{3}{2}\end{aligned}$
【答案】
(1) 证明过程如上述解析；(2)$AF=\frac{3}{2}$
【知识点】
平行四边形性质、角平分线性质、勾股定理
【点评】
本题第一问通过平行四边形性质和角平分线性质证明线段相等，思路清晰；第二问利用面积法求解线段长度，方法巧妙，对学生综合运用知识的能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
(1) 证明：
∵四边形$ABCD$为平行四边形，
∴$AD// BC$，
∴$∠ AEB = ∠ EBC$。
∵$BE$平分$∠ ABC$，
∴$∠ ABE = ∠ EBC$，
∴$∠ ABE = ∠ AEB$，
∴$AE = AB$。
(2) 解：
∵$AC⊥ AB$，$AB = 3$，$BC = 5$，
∴$AC=\sqrt{BC^{2}-AB^{2}}=\sqrt{5^{2}-3^{2}} = 4$。
过点$F$作$FH⊥ BC$，垂足为$H$，
∵$BE$平分$∠ ABC$，$AC⊥ AB$，
∴$AF = FH$。
∵$S_{△ ABC}=S_{△ ABF}+S_{△ BFC}$，
∴$\frac{1}{2}AB· AC=\frac{1}{2}AB· AF+\frac{1}{2}BC· FH$，即$\frac{1}{2}×3×4=\frac{1}{2}×3· AF+\frac{1}{2}×5· AF$，
$\begin{aligned}\frac{1}{2}×3×4&=\frac{1}{2}×3· AF+\frac{1}{2}×5· AF\\6&=\frac{3}{2}AF+\frac{5}{2}AF\\6&=4AF\\AF&=\frac{3}{2}\end{aligned}$
【答案】
(1) 证明过程如上述解析；(2)$AF=\frac{3}{2}$
【知识点】
平行四边形性质、角平分线性质、勾股定理
【点评】
本题第一问通过平行四边形性质和角平分线性质证明线段相等，思路清晰；第二问利用面积法求解线段长度，方法巧妙，对学生综合运用知识的能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
9. (2025·湖北)如图，平行四边形$ABCD$的对角线交点在原点。若$A(-1, 2)$，则点$C$的坐标是(
A.$(2, -1)$
B.$(-2, 1)$
C.$(1, -2)$
D.$(-1, -2)$
C
)A.$(2, -1)$
B.$(-2, 1)$
C.$(1, -2)$
D.$(-1, -2)$
答案
9. C
解析
【解析】
因为平行四边形的对角线互相平分，且对角线交点在原点，所以点$A$与点$C$关于原点对称。
已知$A(-1,2)$，关于原点对称的点的坐标特点是横、纵坐标都互为相反数，所以点$C$的坐标是$(1,-2)$。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的性质、关于原点对称的点的坐标
【点评】
本题考查平行四边形的性质与关于原点对称的点的坐标特征，需理解平行四边形对角线互相平分这一性质，再结合关于原点对称的点的坐标规律求解。
【难度系数】
0.6
因为平行四边形的对角线互相平分，且对角线交点在原点，所以点$A$与点$C$关于原点对称。
已知$A(-1,2)$，关于原点对称的点的坐标特点是横、纵坐标都互为相反数，所以点$C$的坐标是$(1,-2)$。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的性质、关于原点对称的点的坐标
【点评】
本题考查平行四边形的性质与关于原点对称的点的坐标特征，需理解平行四边形对角线互相平分这一性质，再结合关于原点对称的点的坐标规律求解。
【难度系数】
0.6
10. (2025·贵州)如图，在$□ ABCD$中，$AB = 3$，$BC = 5$，$∠ ABC = 60°$，以点$A$为圆心，$AB$长为半径作弧，交$BC$于点$E$，则$EC$的长为(
A.$5$
B.$4$
C.$3$
D.$2$
D
)A.$5$
B.$4$
C.$3$
D.$2$
答案
10. D
解析
【解析】
连接$AE$，因为以点$A$为圆心，$AB$长为半径作弧，交$BC$于点$E$，所以$AB = AE = 3$。
又因为$∠ ABC = 60°$，所以$△ ABE$是等边三角形（有一个角是$60°$的等腰三角形是等边三角形），则$BE = AB = 3$。
已知$BC = 5$，所以$EC = BC - BE = 5 - 3 = 2$。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、线段的计算
【点评】
本题通过作辅助线，利用平行四边形的性质和等边三角形的判定与性质来求解线段长度，考查学生对几何图形性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
连接$AE$，因为以点$A$为圆心，$AB$长为半径作弧，交$BC$于点$E$，所以$AB = AE = 3$。
又因为$∠ ABC = 60°$，所以$△ ABE$是等边三角形（有一个角是$60°$的等腰三角形是等边三角形），则$BE = AB = 3$。
已知$BC = 5$，所以$EC = BC - BE = 5 - 3 = 2$。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、线段的计算
【点评】
本题通过作辅助线，利用平行四边形的性质和等边三角形的判定与性质来求解线段长度，考查学生对几何图形性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
