5. 如图1-5-5，AB//CD，BE和CE分别平分 $ ∠ A B C $和 $ ∠ B C D $，AD过点E，且与AB互相垂直，P为线段BC上一动点，连接PE。若 $ AD=8 $，求PE的最小值。

5. 解：如答图1-5-1，过点$E$作$EH⊥ BC$于点$H$。
$\because AB// CD$，$AD⊥ AB$，$\therefore AD⊥ CD$。
$\because BE$和$CE$分别平分$∠ ABC$和$∠ BCD$，
$\therefore AE=EH$，$DE=EH$。
$\therefore AE=DE=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}× 8=4$。$\therefore EH=4$。
$\because PE≥ EH$，$\therefore PE$的最小值为4。

1. 如图1-5-6，在 $ △ A B C $中， $ ∠ B $的平分线与 $ ∠ A C E $的平分线交于点P，连接AP，PD $ \bot $ AC于点D，PH $ \bot $ BA于点H，你认为 $ ∠ H A P $与 $ ∠ D A P $有什么关系？试证明你的发现。

1. 解：$∠ HAP=∠ DAP$。
证明：如答图1-5-2，过点$P$作$PF⊥ BE$于点$F$。

$\because BP$平分$∠ ABC$，$PH⊥ BA$于点$H$，$PF⊥ BE$于点$F$，
$\therefore PH=PF$。
又$\because CP$平分$∠ ACE$，$PD⊥ AC$于点$D$，$PF⊥ BE$于点$F$，
$\therefore PF=PD$。$\therefore PD=PH$。
$\therefore AP$平分$∠ HAD$。
$\therefore ∠ HAP=∠ DAP$。

2. 观察、猜想、探究：
在 $ △ A B C $中， $ ∠ A C B=2∠ B。 $
(1) 如图1-5-7 $ \textcircled{1} $ ，当 $ ∠ C=90° $ ，AD为 $ ∠ BAC $的平分线时，求证： $ AB=AC+CD。 $
(2) 如图1-5-7 $ \textcircled{2} $ ，当 $ ∠ C≠ 90° $ ，AD为 $ ∠ BAC $的平分线时，线段AB，AC，CD又有怎样的数量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想。

(3) 如图1-5-7 $ \textcircled{3} $当 AD为 $ △ ABC $的外角平分线时，线段 AB，AC，CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明。

2. (1)证明：如答图1-5-3①所示，过点$D$作$DE⊥ AB$于点$E$。
$\because AD$为$∠ BAC$的平分线，$DC⊥ AC$，$DE⊥ AB$，
$\therefore DE=DC$。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$和$\mathrm{Rt}△ AED$中，
$\because AD=AD$，$DC=DE$，
$\therefore \mathrm{Rt}△ ACD≌ \mathrm{Rt}△ AED(\mathrm{HL})$。
$\therefore AC=AE$。
$\because ∠ ACB=2∠ B$，$\therefore ∠ AED=2∠ B$。
又$\because ∠ AED=∠ B+∠ EDB$，
$\therefore ∠ B=∠ EDB$。
$\therefore BE=DE=DC$。
$\therefore AB=AE+BE=AC+CD$。

(2)$AB=CD+AC$。
解析：如答图1-5-3②所示，在$AB$上截取$AG=AC$，连接$DG$。
$\because AD$为$∠ BAC$的平分线，
$\therefore ∠ GAD=∠ CAD$。
在$△ ADG$和$△ ADC$中，
$\because AG=AC$，$∠ GAD=∠ CAD$，$AD=AD$，
$\therefore △ ADG≌ △ ADC(\mathrm{SAS})$。
$\therefore CD=GD$，$∠ AGD=∠ ACB$。
$\because ∠ ACB=2∠ B$，$\therefore ∠ AGD=2∠ B$。
又$\because ∠ AGD=∠ B+∠ GDB$，
$\therefore ∠ B=∠ GDB$。$\therefore BG=DG=DC$。
$\therefore AB=BG+AG=CD+AC$。
(3)解：$AB=CD-AC$。
证明：如答图1-5-3③所示，在$AF$上截取$AG=AC$，连接$DG$。
$\because AD$为$∠ FAC$的平分线，$\therefore ∠ GAD=∠ CAD$。
在$△ ADG$和$△ ADC$中，
$\because AG=AC$，$∠ GAD=∠ CAD$，$AD=AD$，
$\therefore △ ADG≌ △ ADC(\mathrm{SAS})$。
$\therefore CD=GD$，$∠ AGD=∠ ACD$。
$\therefore ∠ ACB=∠ FGD$。
$\because ∠ ACB=2∠ B$，$\therefore ∠ FGD=2∠ B$。
又$\because ∠ FGD=∠ B+∠ GDB$，
$\therefore ∠ B=∠ GDB$。$\therefore BG=DG=DC$。
$\therefore AB=BG-AG=CD-AC$。