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| 背景 | 鹏鹏和城城两位同学对几何学习非常感兴趣，在八年级下册的几何学习后，他们俩相约着对直角三角形背景下的角平分线与垂直平分线进行了一番探究，有了一些有意思的发现。 | |
| 素材 | 如图1-5-8，在Rt△ABC中，$∠ C=90°$。操作：鹏鹏和城城画出$∠ CAB$的平分线AE与AB的垂直平分线DE，AE与DE交于点E。发现：当AC的长度不变，BC的长度变化时，点E的位置也会随之变化。当点E位于某个特殊位置时，$∠ B$的度数、一些线段之间的长度关系会存在一定的特殊性。 | 图1-5-8 |
| 问题解决 | ||
| 任务1 | 在如图1-5-9所示的直角三角形中，鹏鹏发现：点E正好落在边BC上。(1)请利用尺规作图帮助鹏鹏找出点E的位置。(保留角平分线以及垂直平分线的作图痕迹，不要求写作法) | 图1-5-9 |
| 任务2 | (2)点E在图1-5-9的位置时，城城发现： $\textcircled{1}$$∠ B=$___； $\textcircled{2}$BE与CE的(数量)关系：$BE=$___CE。 | |
| 任务3 | (3)继续探索发现，如图1-5-10所示，C，E，D三点共线，此时，鹏鹏和城城又有了新的发现： $\textcircled{1}$$∠ B=$___； $\textcircled{2}$若已知AD=a，发现能用含字母a的式子表示线段DE的长。 则DE的长为_______。 | 图1-5-10 |
答案
3. 解：(1)如答图1-5-4①，作$∠ BAC$的平分线$AE$，线段$AB$的垂直平分线$DE$，则点$E$为所求。
(2)①$30^{\circ }$ ②2
解析：①如答图1-5-4①，$\because AE$平分$∠ BAC$，
$\therefore ∠ BAE=∠ CAE$。
$\because DE$是$AB$的垂直平分线，
$\therefore AE=BE$。$\therefore ∠ B=∠ BAE$。
$\therefore ∠ B=∠ BAE=∠ CAE$。
$\because ∠ C=90^{\circ }$，
$\therefore ∠ B+∠ BAC=90^{\circ }$。
$\therefore 3∠ B=90^{\circ }$。$\therefore ∠ B=30^{\circ }$。
②$\because ∠ CAE=∠ B=30^{\circ }$，$∠ C=90^{\circ }$，$\therefore AE=2CE$。
$\because AE=BE$，$\therefore BE=2CE$。
(3)①$45^{\circ }$ ②$(\sqrt{2}-1)a$
解析：①$\because DE$是$AB$的垂直平分线，$C$，$E$，$D$三点共线，
$\therefore AC=BC$。
$\because ∠ ACB=90^{\circ }$，
$\therefore △ ACB$是等腰直角三角形，
$\therefore ∠ B=45^{\circ }$。
②如答图1-5-4②，过点$E$作$EF⊥ AC$于点$F$。
设$DE=x$，
$\because AE$平分$∠ CAD$，$DE⊥ AB$，$EF⊥ AC$，
$\therefore DE=EF=x$。
$\because AE=AE$，$\therefore \mathrm{Rt}△ AEF≌ \mathrm{Rt}△ AED(\mathrm{HL})$。
$\therefore AF=AD=a$。
由①知$△ ACB$是等腰直角三角形。
$\therefore CD$平分$∠ ACB$。$\therefore ∠ ACD=45^{\circ }$。
$\therefore △ CEF$和$△ ACD$都是等腰直角三角形。
$\therefore CE=\sqrt{2}x$，$AD=CD$。$\therefore a=x+\sqrt{2}x$。
$\therefore x=\frac{a}{\sqrt{2}+1}=(\sqrt{2}-1)a$。$\therefore DE=(\sqrt{2}-1)a$。
