2. 如图，铁路口栏杆短臂长 $ 1 \, \mathrm{m} $，长臂长 $ 16 \, \mathrm{m} $. 当短臂端点下降 $ 0.5 \, \mathrm{m} $ 时，长臂端点升高.

8m

【解析】
设长臂端点升高$ x \, \mathrm{m} $。
由题意可知，短臂、短臂下降高度构成的直角三角形与长臂、长臂升高高度构成的直角三角形相似，根据相似三角形对应边成比例，可得：
$\frac{1}{16}=\frac{0.5}{x}$
解得$ x = 8 $。
【答案】
$\boldsymbol{8\,\mathrm{m}}$
【知识点】
相似三角形的应用
【点评】
本题考查相似三角形在实际生活中的应用，关键是准确识别出相似的直角三角形，利用对应边成比例建立方程求解。

3. (1) 如果两个正方体棱长的比为 $ 1:2 $，那么它们的表面积的比为，体积的比为；
(2) 有棱长比为 $ 1:10 $ 的两个正方体容器，如果小容器能盛水 $ 100 \, \mathrm{g} $，那么大容器能盛水 $ \mathrm{g} $.

1：4
1：8
100000

【解析】
(1) 设小正方体的棱长为$a$，则大正方体的棱长为$2a$。
正方体表面积公式为$S=6a^2$，小正方体表面积$S_小=6a^2$，大正方体表面积$S_大=6×(2a)^2=24a^2$，表面积比为$6a^2:24a^2=1:4$；
正方体体积公式为$V=a^3$，小正方体体积$V_小=a^3$，大正方体体积$V_大=(2a)^3=8a^3$，体积比为$a^3:8a^3=1:8$。
(2) 两个正方体棱长比为$1:10$，则体积比为$1^3:10^3=1:1000$。由于容器盛水质量与容积（体积）成正比，小容器能盛水$100\,\mathrm{g}$，因此大容器能盛水$100×1000=100000\,\mathrm{g}$。
【答案】
$1:4$；$1:8$；$100000$
【知识点】
正方体表面积与体积计算；比的应用；体积与容积的关系
【点评】
本题考查正方体棱长与表面积、体积的关联，以及比的实际应用。需牢记正方体表面积、体积公式，掌握棱长比与表面积比（平方关系）、体积比（立方关系）的规律，理解容器盛水质量与容积的正比例关系，提升立体图形性质的应用能力。

4. 如图，$ AB $ 是斜靠在墙壁上的一架梯子，梯子底部点 $ B $ 距离墙脚 $ C $         $ 1.4 \, \mathrm{m} $，$ D $ 是梯子上的一点. 若 $ BD = 0.5 \, \mathrm{m} $，点 $ D $ 距离墙面 $ 1.2 \, \mathrm{m} $，则梯子的长度为.

3.5m

【解析】
设梯子的长度为$ x \, \mathrm{m} $，则$ AD = (x - 0.5) \, \mathrm{m} $。
因为$ DF // BC $，所以$ △ ADF ∼ △ ABC $（平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似）。
根据相似三角形的性质，对应边成比例，可得：
$\frac{AD}{AB} = \frac{DF}{BC}$
将$ AD = x - 0.5 $，$ AB = x $，$ DF = 1.2 $，$ BC = 1.4 $代入得：
$\frac{x - 0.5}{x} = \frac{1.2}{1.4}$
解方程：
$1.4(x - 0.5) = 1.2x$
$1.4x - 0.7 = 1.2x$
$0.2x = 0.7$
$x = 3.5$
即梯子的长度为$ 3.5 \, \mathrm{m} $。
【答案】
$\boldsymbol{3.5 \, \mathrm{m}}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质
【点评】
本题通过构造相似三角形，利用相似三角形对应边成比例建立方程求解，是解决此类实际测量问题的常用方法，关键是准确找到相似三角形并列出比例式。

5. 为测量旗杆的高度，某人设计了如下测量方法：将镜子放在离旗杆 ($ AB $) $ 27 \, \mathrm{m} $ 的点 $ E $ 处，然后沿直线 $ BE $ 后退，使在点 $ D $ 处恰好看到旗杆顶端 $ A $ 在镜子中的像与镜子上的标记重合 (如图). 设 $ DE = 2.4 \, \mathrm{m} $，观测者的眼睛离地面的高度 $ CD $ 为 $ 1.6 \, \mathrm{m} $，求旗杆的高度.

解：根据光线反射的对称性
​∠AEB=∠CED，​又​∠ABE=∠CDE=90°​
∴​△ABE∽△CDE​
∴$​\frac {AB}{BE}=\frac {CD}{DE}​$
∵​BE=27m，​​DE=2.4m，​​CD=1.6m​
∴​AB=18m​
答：旗杆的高度为​18​米。

【解析】
根据光线反射的对称性，可知$∠ AEB = ∠ CED$，又$∠ ABE = ∠ CDE = 90°$，因此$△ ABE ∽ △ CDE$。
由相似三角形的性质可得$\frac{AB}{BE}=\frac{CD}{DE}$。
已知$BE=27\,\mathrm{m}$，$DE=2.4\,\mathrm{m}$，$CD=1.6\,\mathrm{m}$，将数值代入比例式：
$AB=\frac{BE × CD}{DE}=\frac{27 × 1.6}{2.4}=18\,\mathrm{m}$。
【答案】
旗杆的高度为$\boldsymbol{18\,\mathrm{m}}$。
【知识点】
1. 相似三角形的判定
2. 相似三角形的性质
3. 相似三角形的实际应用
【点评】
本题借助光的反射原理构造相似三角形，将实际测量问题转化为几何相似问题，利用相似三角形的性质求解，体现了数学建模思想在实际生活中的应用。