4. 如图，$AD$、$BE$、$CF$是$△ ABC$的中线，$G$是$△ ABC$的重心.$△ DEF$与$△ ABC$是位似形吗？为什么？

解：​△DEF​与​△ABC​是位似形
∵​AD、​​BE、​​CF​是​△ABC​的中线
∴​EF、​​ED、​​FD​是​△ABC​的中位线
∴$​EF=\frac 12BC$，$​​ED=\frac 12AB$，$​​FD=\frac 12AC​$
∴​△DEF∽△ABC​
∵​G​是​△ABC​的中心
∴$​\frac {EG}{BG}=\frac {FG}{CG}=\frac {DG}{AG}=\frac 12​$
∴​△DEF​与​△ABC​是以点​G​为中心的位似形

【解析】
要判断$△ DEF$与$△ ABC$是否为位似形，步骤如下：
1. 由$AD$、$BE$、$CF$是$△ ABC$的中线，可得$EF$、$ED$、$FD$是$△ ABC$的中位线；
2. 根据三角形中位线性质，得出$EF=\frac{1}{2}BC$，$ED=\frac{1}{2}AB$，$FD=\frac{1}{2}AC$，进而证明$△ DEF∽△ ABC$；
3. 因为$G$是$△ ABC$的重心，所以$\frac{EG}{BG}=\frac{FG}{CG}=\frac{DG}{AG}=\frac{1}{2}$，即$△ DEF$与$△ ABC$的对应点连线都经过点$G$，且对应边成比例。
【答案】
$△ DEF$与$△ ABC$是位似形，理由如下：
∵$AD$、$BE$、$CF$是$△ ABC$的中线
∴$EF$、$ED$、$FD$是$△ ABC$的中位线
∴$EF=\frac{1}{2}BC$，$ED=\frac{1}{2}AB$，$FD=\frac{1}{2}AC$
∴$△ DEF∽△ ABC$
∵$G$是$△ ABC$的重心
∴$\frac{EG}{BG}=\frac{FG}{CG}=\frac{DG}{AG}=\frac{1}{2}$
∴$△ DEF$与$△ ABC$是以点$G$为中心的位似形
【知识点】
三角形中位线性质，相似三角形判定，位似图形定义
【点评】
本题重点考查位似图形的判定，需先利用三角形中位线性质证明三角形相似，再结合三角形重心的性质，证明对应点的连线交于同一点，从而判定位似图形，解题关键是熟练掌握中位线性质和位似图形的判定条件。

5. 在如图所示的平面直角坐标系中，以坐标原点$O$为位似中心，按相似比$2:1$将五边形$ABCDE$放大，并求放大后的图形的面积.

解：$​S_{∆ABE}=2×2-\frac 12×1×1-\frac 12×1×2-\frac 12×1×2=\frac 32​$
$​S_{∆BEC}=\frac 12×3×2=3​$
$​S_{∆DEC}=\frac 12×3×1=\frac 32​$
∴$​S_{五边形ABCDE}=\frac 32+3+\frac 32=6​$
∵相似比为​2∶1​
∴放大后的图形面积为​6×4=24​

【解析】
1. 将五边形$ABCDE$分割为$△ ABE$、$△ BEC$、$△ DEC$，分别计算面积：
$S_{∆ABE}=2×2-\frac{1}{2}×1×1-\frac{1}{2}×1×2-\frac{1}{2}×1×2=\frac{3}{2}$；
$S_{∆BEC}=\frac{1}{2}×3×2=3$；
$S_{∆DEC}=\frac{1}{2}×3×1=\frac{3}{2}$；
2. 计算原五边形面积：
$S_{五边形ABCDE}=\frac{3}{2}+3+\frac{3}{2}=6$；
3. 根据位似图形的性质，相似比为$2:1$，则面积比为$4:1$，因此放大后的图形面积为$6×4=24$。
【答案】
24
【知识点】
位似图形的性质、多边形面积计算、三角形面积计算
【点评】
本题考查位似图形的性质，利用分割法求多边形面积是解题关键，需牢记位似图形面积比与相似比的关系。

1. 在阳光下，高为 $ 1.5 \, \mathrm{m} $ 的竹竿在地面上的影长为 $ 2.5 \, \mathrm{m} $. 在同一时刻，测得某大楼在地面上的影长为 $ 50 \, \mathrm{m} $，这幢大楼的高为.

30m

【解析】
设这幢大楼的高为$ x \, \mathrm{m} $。
同一时刻太阳光下，物体高度与影长成正比，由此列比例式：
$\frac{1.5}{2.5} = \frac{x}{50}$
解方程得：$ x = 30 $
【答案】
$ 30 \, \mathrm{m} $
【知识点】
相似三角形的应用
【点评】
本题利用同一时刻太阳光下物高与影长的正比例关系求解，解题时需注意比例式的正确建立，保证单位统一。