3. 甲、乙两工程队分别同时开挖两条 600 m 长的管道，所挖管道长度 $ y(\mathrm{m}) $ 与挖掘时间 $ x $(天)之间的关系如图所示，则下列说法中：①甲队每天挖 100 m；②乙队开挖 2 天后，每天挖 50 m；③甲队比乙队提前 3 天完成任务；④当 $ x = 2 $ 或 6 时，甲、乙两队所挖管道长度都相差 100 m. 正确的有()


A.①②③
B.①②④
C.②③④
D.①②③④

B

①. 从图中可以看出，甲队挖600米用了6天时间，因此甲队每天挖的长度为：
$ \frac{600 \mathrm{ m}}{6 \mathrm{ 天}} = 100 \mathrm{ m/天} $，
所以陈述①是正确的。
②. 乙队在前2天挖了300米，之后4天从300米挖到500米，即2天挖了200米，因此每天挖的长度为：
$ \frac{200 \mathrm{ m}}{4-2 \mathrm{ 天}} = 50 \mathrm{ m/天} $（从第2天到第6天），
所以陈述②是正确的。
③. 甲队用了6天完成600米，而乙队用了：
$ 2 \mathrm{ 天} + \frac{300 \mathrm{ m}}{50 \mathrm{ m/天}} = 8 \mathrm{ 天} $，
即乙队总共用了8天完成600米。甲队用了6天，所以甲队比乙队提前了：
$ 8 \mathrm{ 天} - 6 \mathrm{ 天} = 2 \mathrm{ 天} $，
因此陈述③是错误的。
④. 当 $ x = 2 $ 时，甲队挖了：
$ 100 \mathrm{ m/天} × 2 \mathrm{ 天} = 200 \mathrm{ m} $（实际甲队图示为2天挖了接近但不足300m的某个值，但根据线性增长特性，我们通过整体计算判断差异），
而乙队挖了300米，相差100米；
当 $ x = 6 $ 时，甲队挖了600米，乙队挖了：
$ 300 \mathrm{ m} + 4 \mathrm{ 天} × 50 \mathrm{ m/天} = 500 \mathrm{ m} $，
相差100米。
所以陈述④是正确的。
正确的陈述有①、②和④，

4. 在一次实验中，老师把一个弹簧秤的上端固定，在其下端悬挂物体，测得弹簧的长度 $ y(\mathrm{cm}) $ 随所挂物体的质量 $ x(\mathrm{kg}) $ 变化关系的图象如图所示.

(1)根据图象信息补全表格：

(2)写出所挂物体的质量在 $ 0 ∼ 5\ \mathrm{kg} $ 时弹簧的长度 $ y(\mathrm{cm}) $ 与所挂物体的质量 $ x(\mathrm{kg}) $ 之间的函数解析式；
(3)结合图象，写出弹簧的长度是怎样随所挂物体的质量的变化而变化的。

(1) 根据图象信息补全表格：
$x = 3, y = 14$ 的对应关系已给出，从图中可以读出当 $x = 4$ 时，$y = 16$；当 $x = 5$ 时，$y = 18$。
补全表格如下：
| $x/\mathrm{kg}$ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | ... |
| --------------- | -- | -- | -- | -- | -- | -- | --- |
| $y/\mathrm{cm}$ | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 | 18 | ... |
(2) 设弹簧长度 $y(\mathrm{cm})$ 与所挂物体的质量 $x(\mathrm{kg})$ 之间的函数关系为 $y = kx + b$。
将点 $(0, 8)$ 和 $(1, 10)$ 代入 $y = kx + b$，
解得$k = 2, b = 8$。
所以，函数解析式为 $y = 2x + 8$（$0 ≤ x ≤ 5$）。
(3) 根据函数解析式 $y = 2x + 8$（$0 ≤ x ≤ 5$）和图象，可以得出：
在 $0 ≤ x ≤ 5$ 范围内，弹簧的长度随着所挂物体质量的增加而线性增加，具体为每增加 $1\ \mathrm{kg}$ 的物体质量，弹簧的长度增加 $2\ \mathrm{cm}$。

5. 小玲和弟弟小东分别从家和图书馆同时出发，沿同一条路相向而行. 小玲开始跑步中途改为步行，到达图书馆恰好用 30 min. 小东骑自行车以 300 m/min 的速度直接回家，两人离家的路程 $ y(\mathrm{m}) $ 与小玲离开出发地的时间 $ x(\mathrm{min}) $ 之间的函数图象如图所示.
(1)家与图书馆之间的路程为m，小玲步行的速度为m/min；
(2)求小东离家的路程 $ y $ 关于 $ x $ 的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
(3)求两人相遇的时间。

(1) 4000；100
(2) 设小东离家的路程 $ y $ 关于 $ x $ 的函数解析式为 $ y = kx + b $。
小东从图书馆出发，初始时 $ x = 0 $，$ y = 4000 $，则 $ b = 4000 $。
小东速度为 $ 300 \, \mathrm{m/min} $，方向与 $ y $ 轴负方向一致，故 $ k = -300 $。
当 $ y = 0 $ 时，$ 0 = -300x + 4000 $，解得 $ x = \frac{40}{3} $。
∴ 函数解析式为 $ y = -300x + 4000 $，自变量取值范围 $ 0 ≤ x ≤ \frac{40}{3} $。
(3) 小玲跑步阶段：$ 0 ≤ x ≤ 10 $，设 $ y = 200x $（由 $ (10, 2000) $ 得斜率 $ 200 $）。
小东函数解析式为 $ y = -300x + 4000 $。
令 $ 200x = -300x + 4000 $，解得 $ x = 8 $。
∴ 两人相遇时间为第 $ 8 \, \mathrm{min} $。

例1 函数 $ y = \frac{\sqrt{2x - 1}}{x - 1} $ 中，自变量 $ x $ 的取值范围是()

A.$ x ≤ \frac{1}{2} $
B.$ x ＜ \frac{1}{2} $
C.$ x ＜ \frac{1}{2} $ 且 $ x ≠ 1 $
D.$ x ≥ \frac{1}{2} $ 且 $ x ≠ 1 $

D

要使函数 $ y = \frac{\sqrt{2x - 1}}{x - 1} $ 有意义，需满足以下条件：
1. 分子中的根式 $\sqrt{2x - 1}$ 要求被开方数非负，即 $2x - 1 ≥ 0$，解得 $x ≥ \frac{1}{2}$。
2. 分母 $x - 1$ 不能为零，即 $x ≠ 1$。
综合得 $x ≥ \frac{1}{2}$ 且 $x ≠ 1$。