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12. (★★)如图，在长方形 $ABCD$ 中放入六个形状、大小相同的小长方形，所标尺寸分别为 $20$ cm 和 $8$ cm，则图中阴影部分的总面积为多少？
答案
设小长方形的长为$x\ \mathrm{cm}$，宽为$y\ \mathrm{cm}$。
根据题意，得：
$\begin{cases}x + 2y = 20 \\x - y = 8\end{cases}$
由$x - y = 8$，得$x = y + 8$。
将$x = y + 8$代入$x + 2y = 20$，得：
$y + 8 + 2y = 20$
$3y = 12$
$y = 4$
则$x = 4 + 8 = 12$。
大长方形的长为$20\ \mathrm{cm}$，宽为$x + y = 12 + 4 = 16\ \mathrm{cm}$。
大长方形面积：$20 × 16 = 320\ \mathrm{cm}^2$。
六个小长方形面积：$6 × 12 × 4 = 288\ \mathrm{cm}^2$。
阴影部分面积：$320 - 288 = 32\ \mathrm{cm}^2$。
答：阴影部分的总面积为$32\ \mathrm{cm}^2$。
根据题意，得：
$\begin{cases}x + 2y = 20 \\x - y = 8\end{cases}$
由$x - y = 8$，得$x = y + 8$。
将$x = y + 8$代入$x + 2y = 20$，得：
$y + 8 + 2y = 20$
$3y = 12$
$y = 4$
则$x = 4 + 8 = 12$。
大长方形的长为$20\ \mathrm{cm}$，宽为$x + y = 12 + 4 = 16\ \mathrm{cm}$。
大长方形面积：$20 × 16 = 320\ \mathrm{cm}^2$。
六个小长方形面积：$6 × 12 × 4 = 288\ \mathrm{cm}^2$。
阴影部分面积：$320 - 288 = 32\ \mathrm{cm}^2$。
答：阴影部分的总面积为$32\ \mathrm{cm}^2$。
13. (★★)周瑜，字公瑾，是三国时期著名将领，杰出的军事家，美姿容，精音律，多谋善断，人称周郎。公元 $208$ 年赤壁之战中大败曹军，奠定三分天下的基础。可惜周瑜英年早逝。下面是一首短诗，请你计算周瑜活了多少岁。
而立之年督东吴，早逝英年两位数。
十比个位正小三，个是十位正两倍。
哪位同学算得快？多少年寿属周瑜？
而立之年督东吴，早逝英年两位数。
十比个位正小三，个是十位正两倍。
哪位同学算得快？多少年寿属周瑜？
答案
设十位数字为$x$，个位数字为$y$。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}y - x = 3, \\ y = 2x.\end{cases}$
将第二个方程代入第一个方程得：
$2x - x = 3$，
解得：
$x = 3$。
将$x = 3$代入$y = 2x$得：
$y = 6$。
因此，周瑜的年龄为$36$岁（而立之年为$30$岁，此处指周瑜在$30$多岁时督东吴，实际计算得年龄为$36$岁，且$36$为两位数，符合题意）。
答：周瑜活了$36$岁。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}y - x = 3, \\ y = 2x.\end{cases}$
将第二个方程代入第一个方程得：
$2x - x = 3$，
解得：
$x = 3$。
将$x = 3$代入$y = 2x$得：
$y = 6$。
因此，周瑜的年龄为$36$岁（而立之年为$30$岁，此处指周瑜在$30$多岁时督东吴，实际计算得年龄为$36$岁，且$36$为两位数，符合题意）。
答：周瑜活了$36$岁。
14. (★★)已知关于 $x$，$y$ 的方程组 $\begin{cases}x + y = 5,\\4ax + 5by = -22\end{cases}$ 与 $\begin{cases}2x - y = 1,\\ax - by - 8 = 0\end{cases}$ 有相同的解，求 $a$，$b$ 的值。
答案
先求解方程组$\begin{cases}x + y = 5,\\2x - y = 1.\end{cases}$
将两个方程相加可得：
$x + y+2x - y=5 + 1$，
$3x=6$，
解得$x = 2$。
把$x = 2$代入$x + y = 5$，可得$2 + y = 5$，解得$y = 3$。
因为两个方程组有相同的解，所以$\begin{cases}x = 2,\\y = 3\end{cases}$也是方程组$\begin{cases}4ax + 5by = -22,\\ax - by - 8 = 0\end{cases}$的解。
将$\begin{cases}x = 2,\\y = 3\end{cases}$代入方程组得到$\begin{cases}8a + 15b = -22&(1),\\2a - 3b - 8 = 0&(2).\end{cases}$
由$(2)$式可得$2a-3b=8$，两边同时乘以$4$得$8a - 12b = 32(3)$。
用$(1)$式减去$(3)$式可得：
$\begin{aligned}8a + 15b-(8a - 12b)&=-22 - 32\\8a + 15b - 8a + 12b&=-54\\27b&=-54\\b&=-2\end{aligned}$
把$b = -2$代入$(2)$式可得：
$\begin{aligned}2a - 3×(-2)-8&=0\\2a + 6 - 8&=0\\2a - 2&=0\\2a&=2\\a&=1\end{aligned}$
答案为$a = 1$，$b = -2$。
将两个方程相加可得：
$x + y+2x - y=5 + 1$，
$3x=6$，
解得$x = 2$。
把$x = 2$代入$x + y = 5$，可得$2 + y = 5$，解得$y = 3$。
因为两个方程组有相同的解，所以$\begin{cases}x = 2,\\y = 3\end{cases}$也是方程组$\begin{cases}4ax + 5by = -22,\\ax - by - 8 = 0\end{cases}$的解。
将$\begin{cases}x = 2,\\y = 3\end{cases}$代入方程组得到$\begin{cases}8a + 15b = -22&(1),\\2a - 3b - 8 = 0&(2).\end{cases}$
由$(2)$式可得$2a-3b=8$，两边同时乘以$4$得$8a - 12b = 32(3)$。
用$(1)$式减去$(3)$式可得：
$\begin{aligned}8a + 15b-(8a - 12b)&=-22 - 32\\8a + 15b - 8a + 12b&=-54\\27b&=-54\\b&=-2\end{aligned}$
把$b = -2$代入$(2)$式可得：
$\begin{aligned}2a - 3×(-2)-8&=0\\2a + 6 - 8&=0\\2a - 2&=0\\2a&=2\\a&=1\end{aligned}$
答案为$a = 1$，$b = -2$。
15. (★★★)先阅读材料，然后解方程组。
材料：解方程组 $\begin{cases}x - y - 1 = 0,①\\4(x - y) - y = 5.②\end{cases}$
由①，得 $x - y = 1$。③
把③代入②，得 $4×1 - y = 5$。解得 $y = -1$。
把 $y = -1$ 代入③，得 $x - (-1) = 1$。解得 $x = 0$。
∴ 原方程组的解为 $\begin{cases}x = 0,\\y = -1.\end{cases}$
这种方法称为“整体代入法”。你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，请用这种方法解方程组 $\begin{cases}2x - 3y - 2 = 0,①\frac{2x - 3y + 5}{7} + 2y = 9.②\end{cases}$
10.2.2 加减消元法
第 1 课时
材料：解方程组 $\begin{cases}x - y - 1 = 0,①\\4(x - y) - y = 5.②\end{cases}$
由①，得 $x - y = 1$。③
把③代入②，得 $4×1 - y = 5$。解得 $y = -1$。
把 $y = -1$ 代入③，得 $x - (-1) = 1$。解得 $x = 0$。
∴ 原方程组的解为 $\begin{cases}x = 0,\\y = -1.\end{cases}$
这种方法称为“整体代入法”。你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，请用这种方法解方程组 $\begin{cases}2x - 3y - 2 = 0,①\frac{2x - 3y + 5}{7} + 2y = 9.②\end{cases}$
10.2.2 加减消元法
第 1 课时
答案
$\begin{cases}2x - 3y - 2 = 0, ①\\ \frac{2x - 3y + 5}{7} + 2y = 9. ②\end{cases}$
由①，得$2x - 3y = 2$③，
把③代入②，得$\frac{2 + 5}{7} + 2y = 9$，
化简，得$1 + 2y = 9$，
解得$y = 4$，
把$y = 4$代入③，得$2x - 12 = 2$，
解得$x = 7$，
$\therefore$原方程组的解为$\begin{cases}x = 7, \\y = 4. \end{cases}$
由①，得$2x - 3y = 2$③，
把③代入②，得$\frac{2 + 5}{7} + 2y = 9$，
化简，得$1 + 2y = 9$，
解得$y = 4$，
把$y = 4$代入③，得$2x - 12 = 2$，
解得$x = 7$，
$\therefore$原方程组的解为$\begin{cases}x = 7, \\y = 4. \end{cases}$
