例 计算：
(1)$(a + b - c)(a - b + c)$；
(2)$(a + b)^3$。

(1)
$\begin{aligned}$
&(a + b - c)(a - b + c)\\
=&[a + (b - c)][a - (b - c)]\\
$=&a^2 - (b - c)^2\$
$=&a^2 - (b^2 - 2bc + c^2)\$
$=&a^2 - b^2 + 2bc - c^2$
$\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}$
$&(a + b)^3\$
$=&(a + b)(a + b)^2\$
$=&(a + b)(a^2 + 2ab + b^2)\$
$=&a(a^2 + 2ab + b^2)+b(a^2 + 2ab + b^2)\$
$=&a^3 + 2a^2b + ab^2 + a^2b + 2ab^2 + b^3\$
$=&a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$
$\end{aligned}$

【分析】
(1) 对于式子$(a + b - c)(a - b + c)$，观察到式子中$a$的符号相同，$b - c$的符号相反，可将$b - c$看作一个整体，把原式变形为平方差公式的形式$[a+(b - c)][a-(b - c)]$，先运用平方差公式计算，再对$(b - c)^2$用完全平方公式展开，最后去括号化简得到结果。
(2) 对于$(a + b)^3$，可将其转化为$(a + b)(a + b)^2$，先利用完全平方公式展开$(a + b)^2$，再运用多项式乘多项式的法则，用$a + b$分别乘$a^2 + 2ab + b^2$的每一项，最后合并同类项得出结果。
【解析】
(1)
$\begin{aligned}&(a + b - c)(a - b + c)\\=&[a + (b - c)][a - (b - c)]\\=&a^2 - (b - c)^2\\=&a^2 - (b^2 - 2bc + c^2)\\=&a^2 - b^2 + 2bc - c^2\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}&(a + b)^3\\=&(a + b)(a + b)^2\\=&(a + b)(a^2 + 2ab + b^2)\\=&a(a^2 + 2ab + b^2)+b(a^2 + 2ab + b^2)\\=&a^3 + 2a^2b + ab^2 + a^2b + 2ab^2 + b^3\\=&a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{a^2 - b^2 + 2bc - c^2}$；(2) $\boldsymbol{a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3}$
【知识点】
平方差公式，完全平方公式，多项式乘多项式法则
【点评】
本题重点考查乘法公式的灵活运用及整体思想、转化思想的应用。第(1)题通过整体变形构造平方差公式，简化了计算过程；第(2)题借助已学的完全平方公式推导立方展开式。解题时需注意去括号的符号变化和同类项的准确合并。
【难度系数】
0.8

1. 填空题：
(1)$x + y - z = x +$()；
(2)$x - y - z = x -$( )。

(1)$y - z$；(2)$y + z$

(1)根据添括号法则，括号前是“+”，括到括号里的各项都不变号，所以$x + y - z = x + (y - z)$；(2)括号前是“-”，括到括号里的各项都变号，所以$x - y - z = x - (y + z)$。

2. 计算：
(1)$(x - 2)(x + 2)$；
(2)$(1 + 2ab)^2 - (2 + 2ab)^2$；
(3)$(7x + y)(7x - y) - (-x + y)(x - y)$；
(4)$(nm + \frac{1}{2})^2(nm - \frac{1}{2})^2$；
(5)$(x - 2y - 1)(x + 2y - 1)$；
(6)$(a - b - 2c)^2$。

(1)
$\begin{align}&(x - 2)(x + 2) \\=&x^{2}-2^{2} \\=&x^{2}-4\end{align}$
(2)
$\begin{align}&(1 + 2ab)^{2}-(2 + 2ab)^{2} \\=&[(1 + 2ab)+(2 + 2ab)][(1 + 2ab)-(2 + 2ab)] \\=&(3 + 4ab)(-1) \\=&-3 - 4ab\end{align}$
(3)
$\begin{align}&(7x + y)(7x - y)-(-x + y)(x - y) \\=&49x^{2}-y^{2}-(-x^{2}+xy+xy - y^{2}) \\=&49x^{2}-y^{2}+x^{2}-2xy + y^{2} \\=&50x^{2}-2xy\end{align}$
(4)
$\begin{align}&(nm+\frac{1}{2})^{2}(nm - \frac{1}{2})^{2} \\=[(nm+\frac{1}{2})(nm - \frac{1}{2})]^{2} \\=(n^{2}m^{2}-\frac{1}{4})^{2} \\=&n^{4}m^{4}-\frac{1}{2}n^{2}m^{2}+\frac{1}{16}\end{align}$
(5)
$\begin{align}&(x - 2y - 1)(x + 2y - 1) \\=[(x - 1)-2y][(x - 1)+2y] \\=&(x - 1)^{2}-(2y)^{2} \\=&x^{2}-2x + 1-4y^{2}\end{align}$
(6)
$\begin{align}&(a - b - 2c)^{2} \\=[(a - b)-2c]^{2} \\=&(a - b)^{2}-4c(a - b)+4c^{2} \\=&a^{2}-2ab + b^{2}-4ac + 4bc+4c^{2}\end{align}$

【分析】
本题主要考查整式乘法公式的应用，解题思路如下：
1. 第(1)题：式子符合平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$的形式，直接将$a=x$，$b=2$代入公式计算即可。
2. 第(2)题：式子是两个平方的差，逆用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，把$(1+2ab)$看作$a$，$(2+2ab)$看作$b$，转化为乘积形式后化简，比直接展开更简便。
3. 第(3)题：前半部分用平方差公式计算，后半部分先展开再去括号，注意去括号时的符号变化，最后合并同类项。
4. 第(4)题：先逆用积的乘方公式，将原式转化为$[(nm+\frac{1}{2})(nm-\frac{1}{2})]^2$，先计算括号内的平方差，再对结果用完全平方公式展开。
5. 第(5)题：把$(x-1)$看作整体，将式子变形为平方差公式的形式，先利用平方差公式计算，再展开完全平方项。
6. 第(6)题：把$(a-b)$看作整体，利用完全平方公式展开，再进一步展开$(a-b)^2$，最后整理得到结果。
【解析】
(1)
$\begin{align}&(x - 2)(x + 2) \\=&x^{2}-2^{2} \\=&x^{2}-4\end{align}$
(2)
$\begin{align}&(1 + 2ab)^{2}-(2 + 2ab)^{2} \\=&[(1 + 2ab)+(2 + 2ab)][(1 + 2ab)-(2 + 2ab)] \\=&(3 + 4ab)(-1) \\=&-3 - 4ab\end{align}$
(3)
$\begin{align}&(7x + y)(7x - y)-(-x + y)(x - y) \\=&49x^{2}-y^{2}-(-x^{2}+xy+xy - y^{2}) \\=&49x^{2}-y^{2}+x^{2}-2xy + y^{2} \\=&50x^{2}-2xy\end{align}$
(4)
$\begin{align}&(nm+\frac{1}{2})^{2}(nm - \frac{1}{2})^{2} \\=&[(nm+\frac{1}{2})(nm - \frac{1}{2})]^{2} \\=&(n^{2}m^{2}-\frac{1}{4})^{2} \\=&n^{4}m^{4}-\frac{1}{2}n^{2}m^{2}+\frac{1}{16}\end{align}$
(5)
$\begin{align}&(x - 2y - 1)(x + 2y - 1) \\=&[(x - 1)-2y][(x - 1)+2y] \\=&(x - 1)^{2}-(2y)^{2} \\=&x^{2}-2x + 1-4y^{2}\end{align}$
(6)
$\begin{align}&(a - b - 2c)^{2} \\=&[(a - b)-2c]^{2} \\=&(a - b)^{2}-4c(a - b)+4c^{2} \\=&a^{2}-2ab + b^{2}-4ac + 4bc+4c^{2}\end{align}$
【答案】
(1)$x^2-4$；
(2)$-3-4ab$；
(3)$50x^2-2xy$；
(4)$n^4m^4-\frac{1}{2}n^2m^2+\frac{1}{16}$；
(5)$x^2-2x+1-4y^2$；
(6)$a^2-2ab+b^2-4ac+4bc+4c^2$。
【知识点】
平方差公式，完全平方公式，整式混合运算
【点评】
本题涵盖了平方差公式、完全平方公式的直接与变形应用，解题时需准确识别公式结构，合理进行式子变形，尤其要注意符号处理和同类项合并，可有效巩固整式乘法公式的运用能力，提升运算准确性与简便性。
【难度系数】
0.6