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3. 比较$2010×2012$与$2008×2014$的大小。
答案
解：设$a = 2011$，则：
$2010 = a - 1$，$2012 = a + 1$，$2008 = a - 3$，$2014 = a + 3$。
$2010×2012 = (a - 1)(a + 1) = a^2 - 1$，
$2008×2014 = (a - 3)(a + 3) = a^2 - 9$。
因为$a^2 - 1 ＞ a^2 - 9$，所以$2010×2012 ＞ 2008×2014$。
结论：$2010×2012 ＞ 2008×2014$
$2010 = a - 1$，$2012 = a + 1$，$2008 = a - 3$，$2014 = a + 3$。
$2010×2012 = (a - 1)(a + 1) = a^2 - 1$，
$2008×2014 = (a - 3)(a + 3) = a^2 - 9$。
因为$a^2 - 1 ＞ a^2 - 9$，所以$2010×2012 ＞ 2008×2014$。
结论：$2010×2012 ＞ 2008×2014$
解析
【分析】
观察要比较的两个乘积中的四个数，发现它们都接近2011，我们可以通过换元法设中间数2011为a，将每个数用含a的代数式表示，再利用平方差公式展开两个乘积，转化为比较两个简单代数式的大小，这样能避免复杂的直接计算，高效得出结果。具体思路为：先设元表示各数，再用平方差公式展开乘积，最后比较展开后式子的大小。
【解析】
设$a = 2011$，则：
$2010 = a - 1$，$2012 = a + 1$，$2008 = a - 3$，$2014 = a + 3$。
$2010×2012 = (a - 1)(a + 1) = a^2 - 1$，
$2008×2014 = (a - 3)(a + 3) = a^2 - 9$。
因为$a^2 - 1 ＞ a^2 - 9$，所以$2010×2012 ＞ 2008×2014$。
【答案】
$2010×2012 ＞ 2008×2014$
【知识点】
平方差公式，换元法比较大小
【点评】
本题借助换元法将接近中间数的数用含字母的式子表示，结合平方差公式简化乘积运算，把复杂的乘积大小比较转化为简单代数式的大小比较，简化了计算过程，体现了转化的数学思想，是解决此类数的乘积大小比较问题的常用技巧。
【难度系数】
0.6
观察要比较的两个乘积中的四个数，发现它们都接近2011，我们可以通过换元法设中间数2011为a，将每个数用含a的代数式表示，再利用平方差公式展开两个乘积，转化为比较两个简单代数式的大小，这样能避免复杂的直接计算，高效得出结果。具体思路为：先设元表示各数，再用平方差公式展开乘积，最后比较展开后式子的大小。
【解析】
设$a = 2011$，则：
$2010 = a - 1$，$2012 = a + 1$，$2008 = a - 3$，$2014 = a + 3$。
$2010×2012 = (a - 1)(a + 1) = a^2 - 1$，
$2008×2014 = (a - 3)(a + 3) = a^2 - 9$。
因为$a^2 - 1 ＞ a^2 - 9$，所以$2010×2012 ＞ 2008×2014$。
【答案】
$2010×2012 ＞ 2008×2014$
【知识点】
平方差公式，换元法比较大小
【点评】
本题借助换元法将接近中间数的数用含字母的式子表示，结合平方差公式简化乘积运算，把复杂的乘积大小比较转化为简单代数式的大小比较，简化了计算过程，体现了转化的数学思想，是解决此类数的乘积大小比较问题的常用技巧。
【难度系数】
0.6
4. 求$(2a - 3b)(-2a - 3b) + (-2a + b)^2$的值，其中$a = \frac{1}{2}$，$b = 1$。
答案
解题步骤：
1. 化简原式：
$ \begin{aligned} &(2a - 3b)(-2a - 3b) + (-2a + b)^2 \\ =&[(-3b)^2 - (2a)^2] + [(-2a)^2 + 2(-2a)b + b^2] \\ =&(9b^2 - 4a^2) + (4a^2 - 4ab + b^2) \\ =&9b^2 - 4a^2 + 4a^2 - 4ab + b^2 \\ =&10b^2 - 4ab \end{aligned} $
2. 代入 $a = \frac{1}{2}$，$b = 1$：
$ 10b^2 - 4ab = 10(1)^2 - 4(\frac{1}{2})(1) = 10 - 2 = 8 $
最终结论：8
1. 化简原式：
$ \begin{aligned} &(2a - 3b)(-2a - 3b) + (-2a + b)^2 \\ =&[(-3b)^2 - (2a)^2] + [(-2a)^2 + 2(-2a)b + b^2] \\ =&(9b^2 - 4a^2) + (4a^2 - 4ab + b^2) \\ =&9b^2 - 4a^2 + 4a^2 - 4ab + b^2 \\ =&10b^2 - 4ab \end{aligned} $
2. 代入 $a = \frac{1}{2}$，$b = 1$：
$ 10b^2 - 4ab = 10(1)^2 - 4(\frac{1}{2})(1) = 10 - 2 = 8 $
最终结论：8
解析
【分析】
这是一道整式化简求值题，直接代入数值计算会比较繁琐，所以优先考虑利用乘法公式化简原式。首先观察到$(2a - 3b)(-2a - 3b)$可变形为$(-3b + 2a)(-3b - 2a)$，符合平方差公式$(m+n)(m-n)=m^2-n^2$的形式，可利用该公式展开；$(-2a + b)^2$是完全平方的形式，可利用完全平方公式$(m+n)^2=m^2+2mn+n^2$展开。之后去括号、合并同类项得到最简式，最后代入$a=\frac{1}{2}$，$b=1$计算即可。
【解析】
1. 化简原式：
$\begin{aligned}&(2a - 3b)(-2a - 3b) + (-2a + b)^2 \\=&[(-3b)^2 - (2a)^2] + [(-2a)^2 + 2(-2a)b + b^2] \\=&(9b^2 - 4a^2) + (4a^2 - 4ab + b^2) \\=&9b^2 - 4a^2 + 4a^2 - 4ab + b^2 \\=&10b^2 - 4ab\end{aligned}$
2. 代入$a = \frac{1}{2}$，$b = 1$计算：
$\begin{aligned}10b^2 - 4ab &= 10×(1)^2 - 4×\frac{1}{2}×1 \\&=10 - 2 \\&=8\end{aligned}$
【答案】
8
【知识点】
平方差公式、完全平方公式、整式化简求值
【点评】
本题主要考查平方差公式和完全平方公式的灵活运用，通过先化简再代入的方式，能有效简化计算过程，避免直接代入的复杂运算。解题时需注意公式中的符号问题，确保展开和合并同类项的准确性。
【难度系数】
0.8
这是一道整式化简求值题，直接代入数值计算会比较繁琐，所以优先考虑利用乘法公式化简原式。首先观察到$(2a - 3b)(-2a - 3b)$可变形为$(-3b + 2a)(-3b - 2a)$，符合平方差公式$(m+n)(m-n)=m^2-n^2$的形式，可利用该公式展开；$(-2a + b)^2$是完全平方的形式，可利用完全平方公式$(m+n)^2=m^2+2mn+n^2$展开。之后去括号、合并同类项得到最简式，最后代入$a=\frac{1}{2}$，$b=1$计算即可。
【解析】
1. 化简原式：
$\begin{aligned}&(2a - 3b)(-2a - 3b) + (-2a + b)^2 \\=&[(-3b)^2 - (2a)^2] + [(-2a)^2 + 2(-2a)b + b^2] \\=&(9b^2 - 4a^2) + (4a^2 - 4ab + b^2) \\=&9b^2 - 4a^2 + 4a^2 - 4ab + b^2 \\=&10b^2 - 4ab\end{aligned}$
2. 代入$a = \frac{1}{2}$，$b = 1$计算：
$\begin{aligned}10b^2 - 4ab &= 10×(1)^2 - 4×\frac{1}{2}×1 \\&=10 - 2 \\&=8\end{aligned}$
【答案】
8
【知识点】
平方差公式、完全平方公式、整式化简求值
【点评】
本题主要考查平方差公式和完全平方公式的灵活运用，通过先化简再代入的方式，能有效简化计算过程，避免直接代入的复杂运算。解题时需注意公式中的符号问题，确保展开和合并同类项的准确性。
【难度系数】
0.8
5. 比较下列算式中结果的大小(填“$＞$”“$＜$”或“$=$”)：
$4^2 + 3^2$$2×4×3$；
$(-2)^2 + 1^2$$2×(-2)×1$；
$3^2 + 3^2$$2×3×3$；
$(-2)^2 + (-2)^2$$2×(-2)×(-2)$；
$···$
通过观察上述内容，你能归纳出什么规律？请你写出这种规律，并加以说明。
$4^2 + 3^2$$2×4×3$；
$(-2)^2 + 1^2$$2×(-2)×1$；
$3^2 + 3^2$$2×3×3$；
$(-2)^2 + (-2)^2$$2×(-2)×(-2)$；
$···$
通过观察上述内容，你能归纳出什么规律？请你写出这种规律，并加以说明。
答案
$4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$，$2×4×3 = 24$，$25＞24$，所以填“＞”；
$(-2)^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5$，$2×(-2)×1 = -4$，$5＞-4$，所以填“＞”；
$3^2 + 3^2 = 9 + 9 = 18$，$2×3×3 = 18$，$18 = 18$，所以填“=”；
$(-2)^2 + (-2)^2 = 4 + 4 = 8$，$2×(-2)×(-2) = 8$，$8 = 8$，所以填“=”。
规律：对于任意实数$a$，$b$，都有$a^2 + b^2 ≥ 2ab$，当且仅当$a = b$时，等号成立。
说明：因为$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 ≥ 0$，所以$a^2 + b^2 ≥ 2ab$，当$(a - b)^2 = 0$，即$a = b$时，等号成立。
$(-2)^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5$，$2×(-2)×1 = -4$，$5＞-4$，所以填“＞”；
$3^2 + 3^2 = 9 + 9 = 18$，$2×3×3 = 18$，$18 = 18$，所以填“=”；
$(-2)^2 + (-2)^2 = 4 + 4 = 8$，$2×(-2)×(-2) = 8$，$8 = 8$，所以填“=”。
规律：对于任意实数$a$，$b$，都有$a^2 + b^2 ≥ 2ab$，当且仅当$a = b$时，等号成立。
说明：因为$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 ≥ 0$，所以$a^2 + b^2 ≥ 2ab$，当$(a - b)^2 = 0$，即$a = b$时，等号成立。
解析
【分析】
首先我们需要先分别计算每组算式左右两边的具体数值，通过计算结果比较大小；接着观察这几组式子的共同结构，发现都是两个数的平方和与这两个数乘积的2倍进行比较，进而尝试归纳出一般性的规律；最后利用完全平方的非负性来证明归纳出的规律的正确性。
【解析】
1. 计算第一组：
$4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$，$2×4×3 = 24$，因为$25＞24$，所以填“＞”；
2. 计算第二组：
$(-2)^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5$，$2×(-2)×1 = -4$，因为$5＞-4$，所以填“＞”；
3. 计算第三组：
$3^2 + 3^2 = 9 + 9 = 18$，$2×3×3 = 18$，因为$18 = 18$，所以填“=”；
4. 计算第四组：
$(-2)^2 + (-2)^2 = 4 + 4 = 8$，$2×(-2)×(-2) = 8$，因为$8 = 8$，所以填“=”；
规律归纳：对于任意实数$a$，$b$，都有$a^2 + b^2 ≥ 2ab$，当且仅当$a = b$时，等号成立。
说明：因为任何实数的平方都为非负数，即$(a - b)^2 ≥ 0$，将其展开可得$a^2 - 2ab + b^2 ≥ 0$，移项后得到$a^2 + b^2 ≥ 2ab$。当$(a - b)^2 = 0$时，也就是$a = b$时，等号成立。
【答案】
＞；＞；=；=；规律：对于任意实数$a$，$b$，$a^2 + b^2 ≥ 2ab$，当且仅当$a = b$时等号成立。
【知识点】
完全平方公式；实数非负性；归纳推理
【点评】
本题通过具体算式的计算，引导学生从特殊到一般归纳出重要的不等式结论，既考查了实数的运算能力，又培养了归纳推理能力，同时利用完全平方公式的非负性进行证明，加深了对公式的理解与应用。
【难度系数】
0.6
首先我们需要先分别计算每组算式左右两边的具体数值，通过计算结果比较大小；接着观察这几组式子的共同结构，发现都是两个数的平方和与这两个数乘积的2倍进行比较，进而尝试归纳出一般性的规律；最后利用完全平方的非负性来证明归纳出的规律的正确性。
【解析】
1. 计算第一组：
$4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$，$2×4×3 = 24$，因为$25＞24$，所以填“＞”；
2. 计算第二组：
$(-2)^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5$，$2×(-2)×1 = -4$，因为$5＞-4$，所以填“＞”；
3. 计算第三组：
$3^2 + 3^2 = 9 + 9 = 18$，$2×3×3 = 18$，因为$18 = 18$，所以填“=”；
4. 计算第四组：
$(-2)^2 + (-2)^2 = 4 + 4 = 8$，$2×(-2)×(-2) = 8$，因为$8 = 8$，所以填“=”；
规律归纳：对于任意实数$a$，$b$，都有$a^2 + b^2 ≥ 2ab$，当且仅当$a = b$时，等号成立。
说明：因为任何实数的平方都为非负数，即$(a - b)^2 ≥ 0$，将其展开可得$a^2 - 2ab + b^2 ≥ 0$，移项后得到$a^2 + b^2 ≥ 2ab$。当$(a - b)^2 = 0$时，也就是$a = b$时，等号成立。
【答案】
＞；＞；=；=；规律：对于任意实数$a$，$b$，$a^2 + b^2 ≥ 2ab$，当且仅当$a = b$时等号成立。
【知识点】
完全平方公式；实数非负性；归纳推理
【点评】
本题通过具体算式的计算，引导学生从特殊到一般归纳出重要的不等式结论，既考查了实数的运算能力，又培养了归纳推理能力，同时利用完全平方公式的非负性进行证明，加深了对公式的理解与应用。
【难度系数】
0.6
6. 如图，有两根同样长度的铁丝，一根折成长方形铁框，另一根折成正方形铁框。长方形的长为$a\ m$，宽为$b\ m(a ＞ b)$。
(1) 用$a$，$b$表示正方形铁框所围部分的面积。
(2) 求正方形铁框所围部分与长方形铁框所围部分的面积之差。
(3) 七年级上学期我们遇到过这样一个问题：“用同样长的栅栏围长方形，怎样围面积更大？”现在你能回答该问题吗？
(1) 用$a$，$b$表示正方形铁框所围部分的面积。
(2) 求正方形铁框所围部分与长方形铁框所围部分的面积之差。
(3) 七年级上学期我们遇到过这样一个问题：“用同样长的栅栏围长方形，怎样围面积更大？”现在你能回答该问题吗？
答案
(1) 长方形的周长为 $2(a + b)$，所以正方形的边长为 $\frac{2(a + b)}{4} = \frac{a + b}{2}$，
正方形铁框所围部分的面积为 $(\frac{a + b}{2})^2 = \frac{(a + b)^2}{4} \ (m^2)$。
(2) 长方形的面积为 $a × b = ab \ (m^2)$，
正方形与长方形面积之差为 $\frac{(a + b)^2}{4} - ab = \frac{a^2 + 2ab + b^2 - 4ab}{4} = \frac{a^2 - 2ab + b^2}{4} = \frac{(a - b)^2}{4} \ (m^2)$。
(3) 当长方形变为正方形时，面积更大，即长和宽相等（$a = b$，此时为正方形）时，面积最大。
正方形铁框所围部分的面积为 $(\frac{a + b}{2})^2 = \frac{(a + b)^2}{4} \ (m^2)$。
(2) 长方形的面积为 $a × b = ab \ (m^2)$，
正方形与长方形面积之差为 $\frac{(a + b)^2}{4} - ab = \frac{a^2 + 2ab + b^2 - 4ab}{4} = \frac{a^2 - 2ab + b^2}{4} = \frac{(a - b)^2}{4} \ (m^2)$。
(3) 当长方形变为正方形时，面积更大，即长和宽相等（$a = b$，此时为正方形）时，面积最大。
解析
【分析】
(1) 要计算正方形的面积，需先求出正方形的边长。由于两根铁丝长度相同，所以正方形的周长等于长方形的周长。先根据长方形的长和宽算出长方形的周长，再除以4得到正方形的边长，最后根据正方形面积公式计算面积。
(2) 先分别写出正方形和长方形的面积表达式，再作差，利用完全平方公式化简得出结果。
(3) 根据(2)中得到的面积差的表达式，结合平方数的非负性，分析得出周长相等时哪种图形的面积更大。
【解析】
(1) 已知长方形的长为$a\ m$，宽为$b\ m$，则长方形的周长为$2(a + b)\ m$。
因为两根铁丝长度相同，所以正方形的周长也为$2(a + b)\ m$，那么正方形的边长为$\frac{2(a + b)}{4} = \frac{a + b}{2}\ m$。
根据正方形面积公式，正方形铁框所围部分的面积为：
$(\frac{a + b}{2})^2 = \frac{(a + b)^2}{4}\ m^2$。
(2) 长方形铁框所围部分的面积为$a × b = ab\ m^2$。
则正方形铁框所围部分与长方形铁框所围部分的面积之差为：
$\frac{(a + b)^2}{4} - ab$
$=\frac{a^2 + 2ab + b^2 - 4ab}{4}$
$=\frac{a^2 - 2ab + b^2}{4}$
$=\frac{(a - b)^2}{4}\ m^2$。
(3) 由(2)可知，面积差为$\frac{(a - b)^2}{4}$，因为$(a - b)^2 ≥ 0$，所以$\frac{(a - b)^2}{4} ≥ 0$，当且仅当$a = b$时，等号成立。
这说明正方形铁框的面积大于等于长方形铁框的面积，当长方形的长和宽相等（即围成正方形）时，所围部分的面积更大。
【答案】
(1) $\boldsymbol{\frac{(a + b)^2}{4}\ m^2}$
(2) $\boldsymbol{\frac{(a - b)^2}{4}\ m^2}$
(3) 当长和宽相等（即围成正方形）时，所围部分的面积更大。
【知识点】
长方形正方形周长、长方形正方形面积、完全平方公式
【点评】
本题通过实际问题考查了代数式的运算与几何图形的周长、面积计算，利用完全平方公式化简代数式，同时通过面积差的分析，直观理解周长相等时正方形面积大于长方形面积的结论，锻炼了代数运算能力与逻辑分析能力。
【难度系数】
0.7
(1) 要计算正方形的面积，需先求出正方形的边长。由于两根铁丝长度相同，所以正方形的周长等于长方形的周长。先根据长方形的长和宽算出长方形的周长，再除以4得到正方形的边长，最后根据正方形面积公式计算面积。
(2) 先分别写出正方形和长方形的面积表达式，再作差，利用完全平方公式化简得出结果。
(3) 根据(2)中得到的面积差的表达式，结合平方数的非负性，分析得出周长相等时哪种图形的面积更大。
【解析】
(1) 已知长方形的长为$a\ m$，宽为$b\ m$，则长方形的周长为$2(a + b)\ m$。
因为两根铁丝长度相同，所以正方形的周长也为$2(a + b)\ m$，那么正方形的边长为$\frac{2(a + b)}{4} = \frac{a + b}{2}\ m$。
根据正方形面积公式，正方形铁框所围部分的面积为：
$(\frac{a + b}{2})^2 = \frac{(a + b)^2}{4}\ m^2$。
(2) 长方形铁框所围部分的面积为$a × b = ab\ m^2$。
则正方形铁框所围部分与长方形铁框所围部分的面积之差为：
$\frac{(a + b)^2}{4} - ab$
$=\frac{a^2 + 2ab + b^2 - 4ab}{4}$
$=\frac{a^2 - 2ab + b^2}{4}$
$=\frac{(a - b)^2}{4}\ m^2$。
(3) 由(2)可知，面积差为$\frac{(a - b)^2}{4}$，因为$(a - b)^2 ≥ 0$，所以$\frac{(a - b)^2}{4} ≥ 0$，当且仅当$a = b$时，等号成立。
这说明正方形铁框的面积大于等于长方形铁框的面积，当长方形的长和宽相等（即围成正方形）时，所围部分的面积更大。
【答案】
(1) $\boldsymbol{\frac{(a + b)^2}{4}\ m^2}$
(2) $\boldsymbol{\frac{(a - b)^2}{4}\ m^2}$
(3) 当长和宽相等（即围成正方形）时，所围部分的面积更大。
【知识点】
长方形正方形周长、长方形正方形面积、完全平方公式
【点评】
本题通过实际问题考查了代数式的运算与几何图形的周长、面积计算，利用完全平方公式化简代数式，同时通过面积差的分析，直观理解周长相等时正方形面积大于长方形面积的结论，锻炼了代数运算能力与逻辑分析能力。
【难度系数】
0.7
