登录
8. 计算$(\frac{\sqrt{5}+1}{2}-1)×\frac{\sqrt{5}+1}{2}$的结果是(
A.$0$
B.$1$
C.$2$
D.$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
B
)A.$0$
B.$1$
C.$2$
D.$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
答案
8. B
解析
$\begin{aligned}&(\frac{\sqrt{5}+1}{2}-1)×\frac{\sqrt{5}+1}{2}\\=&(\frac{\sqrt{5}+1 - 2}{2})×\frac{\sqrt{5}+1}{2}\\=&\frac{\sqrt{5}-1}{2}×\frac{\sqrt{5}+1}{2}\\=&\frac{(\sqrt{5})^2 - 1^2}{4}\\=&\frac{5 - 1}{4}\\=&\frac{4}{4}\\=&1\end{aligned}$
B
B
9. 如果一个三角形的三边长分别是$a$，$b$，$c$，记$p=\frac{a + b + c}{2}$，那么三角形的面积为$S=\sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$。如图，在$△ ABC$中，$∠ A$，$∠ B$，$∠ C$所对的边分别记为$a$，$b$，$c$，若$a = 5$，$b = 6$，$c = 7$，则$△ ABC$的面积为(
A.$6\sqrt{6}$
B.$6\sqrt{3}$
C.$18$
D.$\frac{19}{2}$
A
)A.$6\sqrt{6}$
B.$6\sqrt{3}$
C.$18$
D.$\frac{19}{2}$
答案
9. A
解析
解：已知$a = 5$，$b = 6$，$c = 7$，则$p=\frac{a + b + c}{2}=\frac{5 + 6 + 7}{2}=9$。
$S=\sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}=\sqrt{9×(9 - 5)×(9 - 6)×(9 - 7)}=\sqrt{9×4×3×2}=\sqrt{216}=6\sqrt{6}$。
A
$S=\sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}=\sqrt{9×(9 - 5)×(9 - 6)×(9 - 7)}=\sqrt{9×4×3×2}=\sqrt{216}=6\sqrt{6}$。
A
10. 已知$y=\sqrt{(x - 4)^{2}}-x + 5$，当$x$分别取$1$，$2$，$3$，$···$，$2023$时，所对应$y$值的总和是
2035
。答案
10. 2035
解析
当$x ≥ 4$时，$\sqrt{(x - 4)^2}=x - 4$，则$y=(x - 4)-x + 5=1$；当$x ＜ 4$时，$\sqrt{(x - 4)^2}=4 - x$，则$y=(4 - x)-x + 5=9 - 2x$。
$x$取$1$，$2$，$3$时：$y_1=9 - 2×1=7$，$y_2=9 - 2×2=5$，$y_3=9 - 2×3=3$。
$x$取$4$到$2023$时，共$2023 - 4 + 1=2020$个数，$y$值均为$1$，总和为$2020×1=2020$。
总和为$7 + 5 + 3 + 2020=2035$。
2035
$x$取$1$，$2$，$3$时：$y_1=9 - 2×1=7$，$y_2=9 - 2×2=5$，$y_3=9 - 2×3=3$。
$x$取$4$到$2023$时，共$2023 - 4 + 1=2020$个数，$y$值均为$1$，总和为$2020×1=2020$。
总和为$7 + 5 + 3 + 2020=2035$。
2035
11. 如图，矩形内三个相邻的正方形面积分别为$4$，$3$和$2$，则图中阴影部分的面积为
$ 2\sqrt{3}+2\sqrt{2}-5 $
。答案
11. $ 2\sqrt{3}+2\sqrt{2}-5 $
12. 观察下列等式：
第$1$个等式：$\sqrt{1-\frac{3}{4}}=\frac{1}{2}$；
第$2$个等式：$\sqrt{1-\frac{5}{9}}=\frac{2}{3}$；
第$3$个等式：$\sqrt{1-\frac{7}{16}}=\frac{3}{4}$；
$······$
根据上述规律，解答下面的问题：
（1）请写出第$4$个等式；
（2）请写出第$n$个等式（$n$是正整数，用含$n$的式子表示），并证明。
第$1$个等式：$\sqrt{1-\frac{3}{4}}=\frac{1}{2}$；
第$2$个等式：$\sqrt{1-\frac{5}{9}}=\frac{2}{3}$；
第$3$个等式：$\sqrt{1-\frac{7}{16}}=\frac{3}{4}$；
$······$
根据上述规律，解答下面的问题：
（1）请写出第$4$个等式；
（2）请写出第$n$个等式（$n$是正整数，用含$n$的式子表示），并证明。
答案
12. 解：（1）
∵第1个等式：$ \sqrt{1-\frac{3}{4}}=\sqrt{1-\frac{2×1+1}{(1+1)^2}}=\frac{1}{2}=\frac{1}{1+1} $，第2个等式：$ \sqrt{1-\frac{5}{9}}=\sqrt{1-\frac{2×2+1}{(2+1)^2}}=\frac{2}{3}=\frac{2}{2+1} $，第3个等式：$ \sqrt{1-\frac{7}{16}}=\sqrt{1-\frac{2×3+1}{(3+1)^2}}=\frac{3}{4}=\frac{3}{3+1} $，
∴第4个等式为：$ \sqrt{1-\frac{2×4+1}{(4+1)^2}}=\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\frac{4}{4+1}=\frac{4}{5} $，即$ \sqrt{1-\frac{9}{25}}=\frac{4}{5} $；（2）由（1）可得：第n个等式为：$ \sqrt{1-\frac{2n+1}{(n+1)^2}}=\frac{n}{n+1} $，证明：
∵左边$ =\sqrt{\frac{(n+1)^2}{(n+1)^2}-\frac{2n+1}{(n+1)^2}}=\sqrt{\frac{n^2+2n+1-2n-1}{(n+1)^2}}=\sqrt{\frac{n^2}{(n+1)^2}}=\sqrt{\frac{n^2}{(n+1)^2}}=\frac{n}{n+1} $，
∴左边=右边，
∴等式成立.
∵第1个等式：$ \sqrt{1-\frac{3}{4}}=\sqrt{1-\frac{2×1+1}{(1+1)^2}}=\frac{1}{2}=\frac{1}{1+1} $，第2个等式：$ \sqrt{1-\frac{5}{9}}=\sqrt{1-\frac{2×2+1}{(2+1)^2}}=\frac{2}{3}=\frac{2}{2+1} $，第3个等式：$ \sqrt{1-\frac{7}{16}}=\sqrt{1-\frac{2×3+1}{(3+1)^2}}=\frac{3}{4}=\frac{3}{3+1} $，
∴第4个等式为：$ \sqrt{1-\frac{2×4+1}{(4+1)^2}}=\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\frac{4}{4+1}=\frac{4}{5} $，即$ \sqrt{1-\frac{9}{25}}=\frac{4}{5} $；（2）由（1）可得：第n个等式为：$ \sqrt{1-\frac{2n+1}{(n+1)^2}}=\frac{n}{n+1} $，证明：
∵左边$ =\sqrt{\frac{(n+1)^2}{(n+1)^2}-\frac{2n+1}{(n+1)^2}}=\sqrt{\frac{n^2+2n+1-2n-1}{(n+1)^2}}=\sqrt{\frac{n^2}{(n+1)^2}}=\sqrt{\frac{n^2}{(n+1)^2}}=\frac{n}{n+1} $，
∴左边=右边，
∴等式成立.
