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5. 求证：不论 $ a $ 取何值，二次函数 $ y = x^{2} + ax + a - 2 $ 的图像的顶点总在 $ x $ 轴的下方。
答案
证明：$y=x^2+ax+a-2=(x+\frac {a}2)^2-\frac {a^2}4+a-2$
∴函数图像的顶点是$(-\frac {a}2$，$-\frac {a^2}4+a-2)$
$-\frac {a^2}4+a-2=-(\frac {a}2-1)^2-1$
∵不论a取何值，总有$-(\frac a{2}-1)^2≤0$
∴$-(\frac {a}2-1)^2-1＜0$，即$-\frac {a^2}4+a-2＜0$
∴不论a取何值，函数图像顶点总在x轴的下方
∴函数图像的顶点是$(-\frac {a}2$，$-\frac {a^2}4+a-2)$
$-\frac {a^2}4+a-2=-(\frac {a}2-1)^2-1$
∵不论a取何值，总有$-(\frac a{2}-1)^2≤0$
∴$-(\frac {a}2-1)^2-1＜0$，即$-\frac {a^2}4+a-2＜0$
∴不论a取何值，函数图像顶点总在x轴的下方
解析
【解析】
将二次函数$y = x^{2} + ax + a - 2$配方化为顶点式：
$y=x^2+ax+a-2=(x+\frac{a}{2})^2-\frac{a^2}{4}+a-2$
由此可得函数图像的顶点坐标为$(-\frac{a}{2}, -\frac{a^2}{4}+a-2)$。
对顶点的纵坐标进行变形：
$-\frac{a^2}{4}+a-2=-(\frac{a}{2}-1)^2-1$
因为不论$a$取何值，总有$(\frac{a}{2}-1)^2≥0$，所以$-(\frac{a}{2}-1)^2≤0$，进而可得：
$-(\frac{a}{2}-1)^2-1＜0$，即$-\frac{a^2}{4}+a-2＜0$。
因此，不论$a$取何值，函数图像顶点的纵坐标恒小于0，即顶点总在$x$轴的下方。
【答案】
不论$a$取何值，二次函数$y = x^{2} + ax + a - 2$的图像的顶点总在$x$轴的下方。
【知识点】
1. 二次函数顶点式
2. 配方法
3. 非负数的性质
【点评】
本题通过配方法将二次函数一般式转化为顶点式，利用完全平方的非负性分析顶点纵坐标的取值范围，从而证明结论，考查了二次函数的性质及配方法的灵活应用，培养逻辑推理能力。
将二次函数$y = x^{2} + ax + a - 2$配方化为顶点式：
$y=x^2+ax+a-2=(x+\frac{a}{2})^2-\frac{a^2}{4}+a-2$
由此可得函数图像的顶点坐标为$(-\frac{a}{2}, -\frac{a^2}{4}+a-2)$。
对顶点的纵坐标进行变形：
$-\frac{a^2}{4}+a-2=-(\frac{a}{2}-1)^2-1$
因为不论$a$取何值，总有$(\frac{a}{2}-1)^2≥0$，所以$-(\frac{a}{2}-1)^2≤0$，进而可得：
$-(\frac{a}{2}-1)^2-1＜0$，即$-\frac{a^2}{4}+a-2＜0$。
因此，不论$a$取何值，函数图像顶点的纵坐标恒小于0，即顶点总在$x$轴的下方。
【答案】
不论$a$取何值，二次函数$y = x^{2} + ax + a - 2$的图像的顶点总在$x$轴的下方。
【知识点】
1. 二次函数顶点式
2. 配方法
3. 非负数的性质
【点评】
本题通过配方法将二次函数一般式转化为顶点式，利用完全平方的非负性分析顶点纵坐标的取值范围，从而证明结论，考查了二次函数的性质及配方法的灵活应用，培养逻辑推理能力。
6. 已知二次函数 $ y = 2x^{2} + 3x - 5m $ 的图像与 $ x $ 轴有交点，且交点在点 $ (1, 0) $ 的左侧，求 $ m $ 的取值范围。
答案
解：∵$y=2x^2+3x-5m$的图像与x轴有交点
∴$3^2-4×2×(-5m)=9+40m≥0$，得$m≥-\frac {9}{40}$
又交点在(1，0)左侧
∴当x=1时，y=2+3-5m＞0，得m＜1
∴m的取值范围是$-\frac {9}{40}≤m＜1$
∴$3^2-4×2×(-5m)=9+40m≥0$，得$m≥-\frac {9}{40}$
又交点在(1，0)左侧
∴当x=1时，y=2+3-5m＞0，得m＜1
∴m的取值范围是$-\frac {9}{40}≤m＜1$
解析
【解析】
∵二次函数$ y = 2x^{2} + 3x - 5m $的图像与$ x $轴有交点，
∴判别式$\Delta = 3^2 - 4×2×(-5m) = 9 + 40m ≥ 0$，解得$ m ≥ -\frac{9}{40} $。
又
∵交点在点$(1, 0)$的左侧，
∴当$ x = 1 $时，$ y = 2 + 3 - 5m ＞ 0 $，解得$ m ＜ 1 $。
综合两个条件，可得$ m $的取值范围是$ -\frac{9}{40} ≤ m ＜ 1 $。
【答案】
$ -\frac{9}{40} ≤ m ＜ 1 $
【知识点】
二次函数与x轴交点、判别式的应用、函数值分析
【点评】
本题考查二次函数的相关性质，需同时结合判别式判断交点存在性、特定点的函数值判断交点位置，注意两个条件需同时满足，避免漏解。
∵二次函数$ y = 2x^{2} + 3x - 5m $的图像与$ x $轴有交点，
∴判别式$\Delta = 3^2 - 4×2×(-5m) = 9 + 40m ≥ 0$，解得$ m ≥ -\frac{9}{40} $。
又
∵交点在点$(1, 0)$的左侧，
∴当$ x = 1 $时，$ y = 2 + 3 - 5m ＞ 0 $，解得$ m ＜ 1 $。
综合两个条件，可得$ m $的取值范围是$ -\frac{9}{40} ≤ m ＜ 1 $。
【答案】
$ -\frac{9}{40} ≤ m ＜ 1 $
【知识点】
二次函数与x轴交点、判别式的应用、函数值分析
【点评】
本题考查二次函数的相关性质，需同时结合判别式判断交点存在性、特定点的函数值判断交点位置，注意两个条件需同时满足，避免漏解。
7. 如图，在 $ △ ABC $ 中，$ BC = 8 $，$ BC $ 上的高 $ h = 4 $，点 $ D $ 在 $ BC $ 上，$ EF // BC $，分别交 $ AB $、$ AC $ 于点 $ E $、$ F $($ EF $ 不过点 $ A $、$ B $)。设点 $ E $ 到 $ BC $ 的距离为 $ x $，$ △ DEF $ 的面积为 $ y $。
(1) $ y $ 关于 $ x $ 的函数的图像大致是()；
(A)
(B)
(C)
(D)
(2) 请你说明第(1)小题中你选择的理由。
(1) $ y $ 关于 $ x $ 的函数的图像大致是()；
(A)
(B)
(C)
(D)
(2) 请你说明第(1)小题中你选择的理由。
答案
D
解：∵EF//BC
∴$\frac {EF}{BC}=\frac {AE}{AB}$
又$\frac {x}{h}=\frac {BE}{AB}$
∴$\frac {EF}{BC}+\frac x{h}=\frac {AE+BE}{AB}=1$，即$\frac {EF}8+\frac x{4}=1$
得EF=8-2x
∴$y=\frac 12EF · x=\frac 12(8-2x)x=-x^2+4x$
函数图像是开口向下的抛物线
解：∵EF//BC
∴$\frac {EF}{BC}=\frac {AE}{AB}$
又$\frac {x}{h}=\frac {BE}{AB}$
∴$\frac {EF}{BC}+\frac x{h}=\frac {AE+BE}{AB}=1$，即$\frac {EF}8+\frac x{4}=1$
得EF=8-2x
∴$y=\frac 12EF · x=\frac 12(8-2x)x=-x^2+4x$
函数图像是开口向下的抛物线
解析
【解析】
(1) 直接根据推导结果选择选项D；
(2) 推导理由：
∵ EF//BC
∴ $\frac{EF}{BC}=\frac{AE}{AB}$
又 $\frac{x}{h}=\frac{BE}{AB}$
∴ $\frac{EF}{BC}+\frac{x}{h}=\frac{AE+BE}{AB}=1$，代入$BC=8$，$h=4$得$\frac{EF}{8}+\frac{x}{4}=1$
解得$EF=8-2x$
则$△ DEF$的面积$y=\frac{1}{2}EF · x=\frac{1}{2}(8-2x)x=-x^2+4x$（$0＜x＜4$）
该函数是开口向下的二次函数，且自变量$x$的取值范围是$0＜x＜4$，故函数图像大致为选项D。
【答案】
(1) $\boldsymbol{D}$；
(2) 理由见上述解析。
【知识点】
相似三角形的性质，二次函数的图像与性质，三角形面积公式
【点评】
本题将相似三角形与二次函数知识综合，需通过相似比例求出线段长度，再结合面积公式得到函数关系式，进而判断图像，注重考察知识的综合运用能力。
(1) 直接根据推导结果选择选项D；
(2) 推导理由：
∵ EF//BC
∴ $\frac{EF}{BC}=\frac{AE}{AB}$
又 $\frac{x}{h}=\frac{BE}{AB}$
∴ $\frac{EF}{BC}+\frac{x}{h}=\frac{AE+BE}{AB}=1$，代入$BC=8$，$h=4$得$\frac{EF}{8}+\frac{x}{4}=1$
解得$EF=8-2x$
则$△ DEF$的面积$y=\frac{1}{2}EF · x=\frac{1}{2}(8-2x)x=-x^2+4x$（$0＜x＜4$）
该函数是开口向下的二次函数，且自变量$x$的取值范围是$0＜x＜4$，故函数图像大致为选项D。
【答案】
(1) $\boldsymbol{D}$；
(2) 理由见上述解析。
【知识点】
相似三角形的性质，二次函数的图像与性质，三角形面积公式
【点评】
本题将相似三角形与二次函数知识综合，需通过相似比例求出线段长度，再结合面积公式得到函数关系式，进而判断图像，注重考察知识的综合运用能力。
