3. 如图，在矩形 $ ABCD $ 中，$ AB = 3 $，$ BC = 4 $，点 $ P $ 在边 $ BC $ 上运动，连接 $ DP $，过点 $ A $ 作 $ AE ⊥ DP $，垂足为 $ E $。设 $ DP = x $，$ AE = y $，则能反映 $ y $ 与 $ x $ 之间函数关系的大致图像是()。


(A)
(B)
(C)
(D)

C

【解析】
连接AP，在矩形ABCD中，AD=BC=4，AB=3。
△ADP的面积可表示为$\frac{1}{2} · AD · AB$，也可表示为$\frac{1}{2} · DP · AE$，因此：
$\frac{1}{2} × 4 × 3 = \frac{1}{2} × x × y$，
化简得$y = \frac{12}{x}$。
当点P在BC上运动时，DP的最小值为DC=3（P与C重合时），最大值为BD=$\sqrt{3^2+4^2}=5$（P与B重合时），即$3 ≤ x ≤ 5$。
所以$y$与$x$的函数关系是反比例函数$y=\frac{12}{x}$在$3 ≤ x ≤ 5$的部分，$y$随$x$增大而减小，对应图像为选项C。
【答案】
C
【知识点】
矩形的性质；反比例函数的应用；三角形面积公式
【点评】
本题通过等积法建立函数关系式，结合矩形性质确定自变量的取值范围，进而判断函数图像，关键是灵活运用三角形面积的两种表示方法实现转化。

4. 二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c $ 的图像如图所示，根据图像解答下列问题：
(1) 写出方程 $ ax^{2} + bx + c = 0 $ 的两个根；
(2) 写出不等式 $ ax^{2} + bc + c ＞ 0 $ 的解集；
(3) 若方程 $ ax^{2} + bx + c = k $ 有两个不相等的实数根，求 $ k $ 的取值范围；
(4) 用 $ x_{A} $、$ x_{B} $ 在 $ x $ 轴上标出方程 $ ax^{2} + bx + c = -1 $ 的解。

解：​(1)​方程的两个根为$​x_1=1 $，$​​x_2=3​$
​(2)​不等式的解集是​1＜x＜3​
​(3)k＜2​
​(4)​如图所示

【解析】
(1) 二次函数$y=ax^2+bx+c$的图像与$x$轴交点的横坐标即为方程$ax^2+bx+c=0$的根，由图可知交点为$(1,0)$和$(3,0)$，因此方程的两个根为$x_1=1$，$x_2=3$。
(2) 不等式$ax^2+bx+c＞0$的解集是二次函数图像在$x$轴上方部分对应的$x$的取值范围，由图可知当$1＜x＜3$时，函数图像在$x$轴上方，因此解集为$1＜x＜3$。
(3) 方程$ax^2+bx+c=k$有两个不相等的实数根，等价于二次函数$y=ax^2+bx+c$的图像与直线$y=k$有两个不同的交点。由图可知抛物线顶点纵坐标为2，且开口向下，因此当$k＜2$时，直线$y=k$与抛物线有两个不同交点，即$k$的取值范围是$k＜2$。
(4) 在平面直角坐标系中作直线$y=-1$，该直线与抛物线交点对应的$x$轴上的点即为方程$ax^2+bx+c=-1$的解，在$x$轴上1左侧标记$x_A$、3右侧标记$x_B$即可。
【答案】
(1) $x_1=1$，$x_2=3$；
(2) $1＜x＜3$；
(3) $k＜2$；
(4) 如图所示（在$x$轴上1左侧标$x_A$，3右侧标$x_B$）
【知识点】
二次函数与方程、二次函数与不等式、二次函数图像性质
【点评】
本题考查二次函数图像与一元二次方程、不等式的综合应用，核心是理解函数图像与方程的根、不等式解集的对应关系，需熟练运用二次函数的图像性质分析问题。