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3. 写出下面各数的倍数。（各写$4$个）
答案
3.4的倍数：4，8，12，16…
7的倍数：7，14，21，28…
13的倍数：13，26，39，52…
7的倍数：7，14，21，28…
13的倍数：13，26，39，52…
解析
【分析】
要写出一个数的倍数，我们可以根据倍数的定义，用这个数分别乘1、2、3、4……来得到它的倍数。因为一个数的倍数的个数是无限的，所以写出4个后要加上省略号。我们分别对4、7、13进行这样的操作即可得到对应的倍数。
【解析】
1. 找4的倍数：
4×1=4，4×2=8，4×3=12，4×4=16，因此4的倍数可写为4，8，12，16…
2. 找7的倍数：
7×1=7，7×2=14，7×3=21，7×4=28，因此7的倍数可写为7，14，21，28…
3. 找13的倍数：
13×1=13，13×2=26，13×3=39，13×4=52，因此13的倍数可写为13，26，39，52…
【答案】
4的倍数：4，8，12，16…
7的倍数：7，14，21，28…
13的倍数：13，26，39，52…
【知识点】
倍数的定义、找倍数的方法
【点评】
本题考查倍数的基本概念，找一个数的倍数的方法简单直接，只需用该数依次乘正整数即可，同时要注意一个数的倍数是无限的，书写时需添加省略号。
【难度系数】
0.9
要写出一个数的倍数，我们可以根据倍数的定义，用这个数分别乘1、2、3、4……来得到它的倍数。因为一个数的倍数的个数是无限的，所以写出4个后要加上省略号。我们分别对4、7、13进行这样的操作即可得到对应的倍数。
【解析】
1. 找4的倍数：
4×1=4，4×2=8，4×3=12，4×4=16，因此4的倍数可写为4，8，12，16…
2. 找7的倍数：
7×1=7，7×2=14，7×3=21，7×4=28，因此7的倍数可写为7，14，21，28…
3. 找13的倍数：
13×1=13，13×2=26，13×3=39，13×4=52，因此13的倍数可写为13，26，39，52…
【答案】
4的倍数：4，8，12，16…
7的倍数：7，14，21，28…
13的倍数：13，26，39，52…
【知识点】
倍数的定义、找倍数的方法
【点评】
本题考查倍数的基本概念，找一个数的倍数的方法简单直接，只需用该数依次乘正整数即可，同时要注意一个数的倍数是无限的，书写时需添加省略号。
【难度系数】
0.9
4. 选一选，填一填。
$1$ $2$ $3$ $4$ $6$ $8$ $12$ $18$ $24$ $36$ $48$
$6$的倍数
$24$的因数
$1$ $2$ $3$ $4$ $6$ $8$ $12$ $18$ $24$ $36$ $48$
$6$的倍数
$24$的因数
1，2，3，4，6，8，12，24
既是$6$的倍数，又是$24$的因数。答案
4.6的倍数：6，12，18，24，36，48
24的因数：1，2，3，4，6，8，12，24 6，12，24
24的因数：1，2，3，4，6，8，12，24 6，12，24
解析
【分析】
要解决这道题，我们需要先明确倍数和因数的核心概念：若整数a能被整数b（b≠0）整除，则a是b的倍数，b是a的因数。解题分三步：
1. 从给定数中筛选6的倍数：用每个数除以6，能整除的即为6的倍数；
2. 从给定数中筛选24的因数：看每个数能否整除24，能整除的即为24的因数；
3. 对比前两步的结果，找出同时出现在两个列表中的数，就是既是6的倍数又是24的因数的数。
【解析】
1. 筛选6的倍数：
对给定数逐一计算：
$1÷6$不能整除，$2÷6$不能整除，$3÷6$不能整除，$4÷6$不能整除，$6÷6=1$（能整除），$8÷6$不能整除，$12÷6=2$（能整除），$18÷6=3$（能整除），$24÷6=4$（能整除），$36÷6=6$（能整除），$48÷6=8$（能整除）。
因此6的倍数为：6，12，18，24，36，48。
2. 筛选24的因数：
对给定数逐一验证能否整除24：
$24÷1=24$（能整除），$24÷2=12$（能整除），$24÷3=8$（能整除），$24÷4=6$（能整除），$24÷6=4$（能整除），$24÷8=3$（能整除），$24÷12=2$（能整除），$24÷18$不能整除，$24÷24=1$（能整除），$24÷36$不能整除，$24÷48$不能整除。
因此24的因数为：1，2，3，4，6，8，12，24。
3. 找既是6的倍数又是24的因数的数：
对比上述两个列表，共同的数是6，12，24。
【答案】
6的倍数：6，12，18，24，36，48
24的因数：1，2，3，4，6，8，12，24
既是6的倍数又是24的因数：6，12，24
【知识点】
1. 倍数的概念
2. 因数的概念
3. 公因数与公倍数
【点评】
本题聚焦倍数和因数的基础概念，通过分步筛选的方式考察学生对概念的理解和应用能力，有助于强化学生对整数整除关系的认知，是数论基础知识点的典型应用题型。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，我们需要先明确倍数和因数的核心概念：若整数a能被整数b（b≠0）整除，则a是b的倍数，b是a的因数。解题分三步：
1. 从给定数中筛选6的倍数：用每个数除以6，能整除的即为6的倍数；
2. 从给定数中筛选24的因数：看每个数能否整除24，能整除的即为24的因数；
3. 对比前两步的结果，找出同时出现在两个列表中的数，就是既是6的倍数又是24的因数的数。
【解析】
1. 筛选6的倍数：
对给定数逐一计算：
$1÷6$不能整除，$2÷6$不能整除，$3÷6$不能整除，$4÷6$不能整除，$6÷6=1$（能整除），$8÷6$不能整除，$12÷6=2$（能整除），$18÷6=3$（能整除），$24÷6=4$（能整除），$36÷6=6$（能整除），$48÷6=8$（能整除）。
因此6的倍数为：6，12，18，24，36，48。
2. 筛选24的因数：
对给定数逐一验证能否整除24：
$24÷1=24$（能整除），$24÷2=12$（能整除），$24÷3=8$（能整除），$24÷4=6$（能整除），$24÷6=4$（能整除），$24÷8=3$（能整除），$24÷12=2$（能整除），$24÷18$不能整除，$24÷24=1$（能整除），$24÷36$不能整除，$24÷48$不能整除。
因此24的因数为：1，2，3，4，6，8，12，24。
3. 找既是6的倍数又是24的因数的数：
对比上述两个列表，共同的数是6，12，24。
【答案】
6的倍数：6，12，18，24，36，48
24的因数：1，2，3，4，6，8，12，24
既是6的倍数又是24的因数：6，12，24
【知识点】
1. 倍数的概念
2. 因数的概念
3. 公因数与公倍数
【点评】
本题聚焦倍数和因数的基础概念，通过分步筛选的方式考察学生对概念的理解和应用能力，有助于强化学生对整数整除关系的认知，是数论基础知识点的典型应用题型。
【难度系数】
0.8
5. 判断。(对的画“√”，错的画“×”)
(1) $5$是因数，$35$是倍数。 (
(2) 一个非$0$自然数的最大因数和最小倍数都是它本身。 (
(3) 一个非$0$自然数的因数的个数是无限的，倍数的个数是有限的。 (
(4) 一个数的因数一定比它的倍数小。 (
(5) $23$既是$23$的因数，又是$23$的倍数。 (
(6) $20$的因数只有$2$，$4$，$5$，$10$。 (
(1) $5$是因数，$35$是倍数。 (
×
)(2) 一个非$0$自然数的最大因数和最小倍数都是它本身。 (
√
)(3) 一个非$0$自然数的因数的个数是无限的，倍数的个数是有限的。 (
×
)(4) 一个数的因数一定比它的倍数小。 (
×
)(5) $23$既是$23$的因数，又是$23$的倍数。 (
√
)(6) $20$的因数只有$2$，$4$，$5$，$10$。 (
×
)答案
5.（1）× （2）√ （3）× （4）× （5）√ （6）×
解析
【分析】
我们需要根据因数和倍数的相关概念，逐一分析每个判断：
1. 对于第(1)题，要明确因数和倍数是相互依存的关系，不能孤立地说某个数是因数或倍数；
2. 第(2)题，回忆一个非0自然数的最大因数和最小倍数的定义，最大因数是能整除它的最大数，最小倍数是它的1倍，判断是否为它本身；
3. 第(3)题，思考一个非0自然数的因数范围是1到它本身，所以个数有限，而倍数可以无限扩大，个数是无限的；
4. 第(4)题，考虑一个数的最大因数和最小倍数都是它本身，此时因数和倍数相等，并非因数一定小于倍数；
5. 第(5)题，根据一个数的最大因数和最小倍数的特征，判断23是否同时满足；
6. 第(6)题，列举20的所有因数，看是否遗漏了1和20这两个因数。
【解析】
(1) 因数和倍数是相互依存的，不能单独说“5是因数，35是倍数”，正确表述应为“5是35的因数，35是5的倍数”，所以该说法错误，画“×”。
(2) 一个非0自然数的最大因数是能整除它的最大数，即它本身；最小倍数是它的1倍，也是它本身，所以该说法正确，画“√”。
(3) 一个非0自然数的因数最小是1，最大是它本身，因此因数的个数是有限的；它的倍数可以是它的1倍、2倍、3倍……有无数个，即倍数的个数是无限的，所以该说法错误，画“×”。
(4) 一个数的最大因数和最小倍数都是它本身，此时因数和倍数相等，并非因数一定比倍数小，所以该说法错误，画“×”。
(5) 23的最大因数是23，最小倍数是23，所以23既是23的因数，又是23的倍数，该说法正确，画“√”。
(6) 20的因数有1、2、4、5、10、20，题目中遗漏了1和20，所以该说法错误，画“×”。
【答案】
(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√ (6)×
【知识点】
因数与倍数的意义、因数和倍数的特征
【点评】
本题重点考查因数和倍数的核心概念，需要学生准确把握因数与倍数相互依存的关系，以及一个数的因数、倍数的个数、最大最小因数倍数等关键知识点，易错题点在于忽略因数和倍数的依存性、遗漏1和原数作为因数等。
【难度系数】
0.8
我们需要根据因数和倍数的相关概念，逐一分析每个判断：
1. 对于第(1)题，要明确因数和倍数是相互依存的关系，不能孤立地说某个数是因数或倍数；
2. 第(2)题，回忆一个非0自然数的最大因数和最小倍数的定义，最大因数是能整除它的最大数，最小倍数是它的1倍，判断是否为它本身；
3. 第(3)题，思考一个非0自然数的因数范围是1到它本身，所以个数有限，而倍数可以无限扩大，个数是无限的；
4. 第(4)题，考虑一个数的最大因数和最小倍数都是它本身，此时因数和倍数相等，并非因数一定小于倍数；
5. 第(5)题，根据一个数的最大因数和最小倍数的特征，判断23是否同时满足；
6. 第(6)题，列举20的所有因数，看是否遗漏了1和20这两个因数。
【解析】
(1) 因数和倍数是相互依存的，不能单独说“5是因数，35是倍数”，正确表述应为“5是35的因数，35是5的倍数”，所以该说法错误，画“×”。
(2) 一个非0自然数的最大因数是能整除它的最大数，即它本身；最小倍数是它的1倍，也是它本身，所以该说法正确，画“√”。
(3) 一个非0自然数的因数最小是1，最大是它本身，因此因数的个数是有限的；它的倍数可以是它的1倍、2倍、3倍……有无数个，即倍数的个数是无限的，所以该说法错误，画“×”。
(4) 一个数的最大因数和最小倍数都是它本身，此时因数和倍数相等，并非因数一定比倍数小，所以该说法错误，画“×”。
(5) 23的最大因数是23，最小倍数是23，所以23既是23的因数，又是23的倍数，该说法正确，画“√”。
(6) 20的因数有1、2、4、5、10、20，题目中遗漏了1和20，所以该说法错误，画“×”。
【答案】
(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√ (6)×
【知识点】
因数与倍数的意义、因数和倍数的特征
【点评】
本题重点考查因数和倍数的核心概念，需要学生准确把握因数与倍数相互依存的关系，以及一个数的因数、倍数的个数、最大最小因数倍数等关键知识点，易错题点在于忽略因数和倍数的依存性、遗漏1和原数作为因数等。
【难度系数】
0.8
1. 填空。
(1) 在$15$，$17$，$30$，$51$这四个数中，(
(2) $12$的因数有 (
(3) 一个数的最大因数和最小倍数都是$22$，这个数是 (
(4) 一个数既是$3$和$5$的倍数，又是$15$的因数，这个数是 (
(5) 一个数既是$6$的倍数，又是$12$的因数，这个数是 (
(1) 在$15$，$17$，$30$，$51$这四个数中，(
30
) 是 (15
) 的倍数，(51
) 是 (17
) 的倍数；(15
) 是 (30
) 的因数，(17
) 是 (51
) 的因数。(2) $12$的因数有 (
1，2，3，4，6，12
)，其中最小的因数是 (1
)，最大的因数是 (12
)。(3) 一个数的最大因数和最小倍数都是$22$，这个数是 (
22
)。(4) 一个数既是$3$和$5$的倍数，又是$15$的因数，这个数是 (
15
)。(5) 一个数既是$6$的倍数，又是$12$的因数，这个数是 (
6
) 或 (12
)。答案
1.（1）30 15 51 17 15 30 17 51
（2）1，2，3，4，6，12 1 12
（3）22 （4）15 （5）6 12
（2）1，2，3，4，6，12 1 12
（3）22 （4）15 （5）6 12
解析
【分析】
1. 对于第(1)问：首先回忆因数和倍数的定义，在整数除法中，若商是整数且没有余数，被除数就是除数的倍数，除数就是被除数的因数。观察给出的四个数，通过计算判断整除关系，$30÷15=2$，$51÷17=3$，均满足整除条件，由此确定倍数和因数关系。
2. 对于第(2)问：找一个数的因数，就是找所有能整除这个数的整数，从1开始依次列举相乘得12的数对，就能找出所有因数，再根据因数的性质，最小因数是1，最大因数是数本身确定对应答案。
3. 对于第(3)问：根据一个数的最大因数和最小倍数都是它本身这一性质，已知最大因数和最小倍数是22，直接得出这个数。
4. 对于第(4)问：先找出15的所有因数，再从这些因数中筛选出同时是3和5的倍数的数，3和5的最小公倍数是15，结合因数范围确定符合条件的数。
5. 对于第(5)问：先找出12的所有因数，再从这些因数中筛选出是6的倍数的数，即可得到答案。
【解析】
(1) 因为$30÷15=2$，商为整数且无余数，所以30是15的倍数，15是30的因数；
因为$51÷17=3$，商为整数且无余数，所以51是17的倍数，17是51的因数。
(2) 由于$1×12=12$，$2×6=12$，$3×4=12$，所以12的因数有1，2，3，4，6，12；
根据因数的性质，一个数最小的因数是1，最大的因数是它本身，所以最小因数是1，最大因数是12。
(3) 根据“一个数的最大因数和最小倍数都是它本身”，已知这个数的最大因数和最小倍数都是22，因此这个数是22。
(4) 15的因数有1，3，5，15；
其中同时是3和5的倍数的数，需要满足个位是0或5且各位数字和是3的倍数，只有15符合条件，所以这个数是15。
(5) 12的因数有1，2，3，4，6，12；
其中是6的倍数的数为6和12，所以这个数是6或12。
【答案】
1. (1) 30，15；51，17；15，30；17，51
(2) 1，2，3，4，6，12；1；12
(3) 22
(4) 15
(5) 6；12
【知识点】
因数与倍数的定义；因数的找法；最大因数与最小倍数的性质
【点评】
本题是因数与倍数的基础题型，全面考查了因数、倍数的核心概念，以及一个数的最大因数、最小倍数的性质，通过不同类型的题目帮助巩固对基础概念的理解与应用，是入门级的巩固练习。
【难度系数】
0.8
1. 对于第(1)问：首先回忆因数和倍数的定义，在整数除法中，若商是整数且没有余数，被除数就是除数的倍数，除数就是被除数的因数。观察给出的四个数，通过计算判断整除关系，$30÷15=2$，$51÷17=3$，均满足整除条件，由此确定倍数和因数关系。
2. 对于第(2)问：找一个数的因数，就是找所有能整除这个数的整数，从1开始依次列举相乘得12的数对，就能找出所有因数，再根据因数的性质，最小因数是1，最大因数是数本身确定对应答案。
3. 对于第(3)问：根据一个数的最大因数和最小倍数都是它本身这一性质，已知最大因数和最小倍数是22，直接得出这个数。
4. 对于第(4)问：先找出15的所有因数，再从这些因数中筛选出同时是3和5的倍数的数，3和5的最小公倍数是15，结合因数范围确定符合条件的数。
5. 对于第(5)问：先找出12的所有因数，再从这些因数中筛选出是6的倍数的数，即可得到答案。
【解析】
(1) 因为$30÷15=2$，商为整数且无余数，所以30是15的倍数，15是30的因数；
因为$51÷17=3$，商为整数且无余数，所以51是17的倍数，17是51的因数。
(2) 由于$1×12=12$，$2×6=12$，$3×4=12$，所以12的因数有1，2，3，4，6，12；
根据因数的性质，一个数最小的因数是1，最大的因数是它本身，所以最小因数是1，最大因数是12。
(3) 根据“一个数的最大因数和最小倍数都是它本身”，已知这个数的最大因数和最小倍数都是22，因此这个数是22。
(4) 15的因数有1，3，5，15；
其中同时是3和5的倍数的数，需要满足个位是0或5且各位数字和是3的倍数，只有15符合条件，所以这个数是15。
(5) 12的因数有1，2，3，4，6，12；
其中是6的倍数的数为6和12，所以这个数是6或12。
【答案】
1. (1) 30，15；51，17；15，30；17，51
(2) 1，2，3，4，6，12；1；12
(3) 22
(4) 15
(5) 6；12
【知识点】
因数与倍数的定义；因数的找法；最大因数与最小倍数的性质
【点评】
本题是因数与倍数的基础题型，全面考查了因数、倍数的核心概念，以及一个数的最大因数、最小倍数的性质，通过不同类型的题目帮助巩固对基础概念的理解与应用，是入门级的巩固练习。
【难度系数】
0.8
