登录
2. 选择。(把正确答案的序号填在括号里)
(1) $a$，$b$，$c$是三个不同的非$0$自然数，其中$a÷ b = c$。下列说法正确的是 (
① $b$是$a$的倍数
② $a$是$b$的因数
③ $a$是$b$和$c$的倍数
(1) $a$，$b$，$c$是三个不同的非$0$自然数，其中$a÷ b = c$。下列说法正确的是 (
③
)。① $b$是$a$的倍数
② $a$是$b$的因数
③ $a$是$b$和$c$的倍数
答案
2.（1）③
解析
【分析】
首先要明确因数和倍数的意义：在非0自然数的整数除法中，若$a÷b=c$（$a$、$b$、$c$均为非0自然数），则$a$是$b$和$c$的倍数，$b$和$c$是$a$的因数，且因数和倍数是相互依存的，不能单独说某个数是倍数或因数。接下来逐个分析选项：
①选项说“$b$是$a$的倍数”，根据定义，应该是$a$是$b$的倍数，$b$是$a$的因数，所以该说法错误；
②选项说“$a$是$b$的因数”，与正确的依存关系相反，$b$才是$a$的因数，该说法错误；
③选项“$a$是$b$和$c$的倍数”，符合因数和倍数的定义，说法正确。
【解析】
根据因数和倍数的定义：当$a$、$b$、$c$为非0自然数，且$a÷b=c$（商为整数且无余数）时，$a$是$b$和$c$的倍数，$b$和$c$是$a$的因数。
①：$b$是$a$的因数，而非倍数，错误；
②：$a$是$b$的倍数，而非因数，错误；
③：符合因数和倍数的定义，正确。
【答案】
③
【知识点】
因数和倍数的意义
【点评】
本题主要考查因数和倍数的基本概念，关键是要理解因数与倍数的相互依存关系，不能孤立地表述某个数是倍数或因数，需准确辨析两者的关系。
【难度系数】
0.7
首先要明确因数和倍数的意义：在非0自然数的整数除法中，若$a÷b=c$（$a$、$b$、$c$均为非0自然数），则$a$是$b$和$c$的倍数，$b$和$c$是$a$的因数，且因数和倍数是相互依存的，不能单独说某个数是倍数或因数。接下来逐个分析选项：
①选项说“$b$是$a$的倍数”，根据定义，应该是$a$是$b$的倍数，$b$是$a$的因数，所以该说法错误；
②选项说“$a$是$b$的因数”，与正确的依存关系相反，$b$才是$a$的因数，该说法错误；
③选项“$a$是$b$和$c$的倍数”，符合因数和倍数的定义，说法正确。
【解析】
根据因数和倍数的定义：当$a$、$b$、$c$为非0自然数，且$a÷b=c$（商为整数且无余数）时，$a$是$b$和$c$的倍数，$b$和$c$是$a$的因数。
①：$b$是$a$的因数，而非倍数，错误；
②：$a$是$b$的倍数，而非因数，错误；
③：符合因数和倍数的定义，正确。
【答案】
③
【知识点】
因数和倍数的意义
【点评】
本题主要考查因数和倍数的基本概念，关键是要理解因数与倍数的相互依存关系，不能孤立地表述某个数是倍数或因数，需准确辨析两者的关系。
【难度系数】
0.7
(2) $45$的因数有 (
① $4$
② $5$
③ $6$
③
) 个。① $4$
② $5$
③ $6$
答案
(2) ③
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确因数的定义：若整数a除以整数b（b≠0）的商为整数且无余数，则b是a的因数。解题思路是用“成对有序查找法”找出45的所有因数：从1开始依次判断能否整除45，每找到一个能整除的数，就对应得到另一个因数，直到找到的因数重复时停止，最后统计因数的总个数，再匹配选项。
【解析】
步骤1：从1开始查找，45÷1=45，无余数，所以1和45是45的因数；
步骤2：判断2，45÷2有余数，2不是45的因数；
步骤3：判断3，45÷3=15，无余数，所以3和15是45的因数；
步骤4：判断4，45÷4有余数，4不是45的因数；
步骤5：判断5，45÷5=9，无余数，所以5和9是45的因数；
步骤6：继续往后判断6、7、8，均不能整除45，且9已在之前的因数中出现，停止查找。
整理45的因数为：1、3、5、9、15、45，共6个，因此选③。
【答案】
③
【知识点】
因数的概念、找因数的方法
【点评】
本题考查因数的基础应用，重点在于掌握有序查找因数的方法，避免遗漏或重复，属于基础必掌握题型。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先明确因数的定义：若整数a除以整数b（b≠0）的商为整数且无余数，则b是a的因数。解题思路是用“成对有序查找法”找出45的所有因数：从1开始依次判断能否整除45，每找到一个能整除的数，就对应得到另一个因数，直到找到的因数重复时停止，最后统计因数的总个数，再匹配选项。
【解析】
步骤1：从1开始查找，45÷1=45，无余数，所以1和45是45的因数；
步骤2：判断2，45÷2有余数，2不是45的因数；
步骤3：判断3，45÷3=15，无余数，所以3和15是45的因数；
步骤4：判断4，45÷4有余数，4不是45的因数；
步骤5：判断5，45÷5=9，无余数，所以5和9是45的因数；
步骤6：继续往后判断6、7、8，均不能整除45，且9已在之前的因数中出现，停止查找。
整理45的因数为：1、3、5、9、15、45，共6个，因此选③。
【答案】
③
【知识点】
因数的概念、找因数的方法
【点评】
本题考查因数的基础应用，重点在于掌握有序查找因数的方法，避免遗漏或重复，属于基础必掌握题型。
【难度系数】
0.8
(3) 下列各数中，(
① $15$
② $25$
③ $90$
②
) 不是$15$的倍数。① $15$
② $25$
③ $90$
答案
(3) ②
解析
【分析】
要判断一个数是不是15的倍数，核心思路是看这个数能否被15整除（即除以15后没有余数）。我们可以逐个对选项进行验证：先看选项①，15除以15商为1，没有余数，说明是15的倍数；再看选项②，25除以15商1余10，有余数，不符合倍数要求；最后看选项③，90除以15商为6，没有余数，是15的倍数。因此只有②不是15的倍数。
【解析】
判断一个数是否为15的倍数，可通过除法运算验证：
① $15÷15=1$，能被15整除，是15的倍数；
② $25÷15=1······10$，有余数，不能被15整除，不是15的倍数；
③ $90÷15=6$，能被15整除，是15的倍数。
综上，不是15的倍数的是②。
【答案】
②
【知识点】
倍数的判断、整除的概念
【点评】
本题考查对倍数与整除概念的基础应用，通过简单的除法运算即可判断，题目侧重对基础知识的考查，有助于巩固倍数的判断方法。
【难度系数】
0.9
要判断一个数是不是15的倍数，核心思路是看这个数能否被15整除（即除以15后没有余数）。我们可以逐个对选项进行验证：先看选项①，15除以15商为1，没有余数，说明是15的倍数；再看选项②，25除以15商1余10，有余数，不符合倍数要求；最后看选项③，90除以15商为6，没有余数，是15的倍数。因此只有②不是15的倍数。
【解析】
判断一个数是否为15的倍数，可通过除法运算验证：
① $15÷15=1$，能被15整除，是15的倍数；
② $25÷15=1······10$，有余数，不能被15整除，不是15的倍数；
③ $90÷15=6$，能被15整除，是15的倍数。
综上，不是15的倍数的是②。
【答案】
②
【知识点】
倍数的判断、整除的概念
【点评】
本题考查对倍数与整除概念的基础应用，通过简单的除法运算即可判断，题目侧重对基础知识的考查，有助于巩固倍数的判断方法。
【难度系数】
0.9
(4) 一个非$0$自然数的因数一定 (
① 小于
② 等于
③ 小于或等于
③
) 它的倍数。① 小于
② 等于
③ 小于或等于
答案
(4) ③
解析
【分析】
首先回忆因数和倍数的定义：对于一个非0自然数，它的因数是指能够整除它的数，其中最大的因数就是它本身；它的倍数是指它的整数倍，其中最小的倍数也是它本身。接下来思考：当这个数的因数是它本身时，因数等于倍数；当因数是其他小于它本身的因数时，因数小于倍数。所以综合起来，一个非0自然数的因数一定小于或等于它的倍数。
【解析】
根据因数和倍数的性质：
1. 一个非0自然数的最大因数是它本身；
2. 一个非0自然数的最小倍数是它本身；
由此可知，这个数的因数可能等于它的倍数（当因数是它本身时），也可能小于它的倍数（当因数是其他小于它本身的因数时），所以一个非0自然数的因数一定小于或等于它的倍数，应选③。
【答案】
③
【知识点】
因数与倍数的概念
【点评】
本题主要考查因数和倍数的基本性质，重点在于理解一个数的最大因数和最小倍数都是它本身这一关键知识点，容易因忽略“本身”这一情况而误选①，属于基础概念题。
【难度系数】
0.8
首先回忆因数和倍数的定义：对于一个非0自然数，它的因数是指能够整除它的数，其中最大的因数就是它本身；它的倍数是指它的整数倍，其中最小的倍数也是它本身。接下来思考：当这个数的因数是它本身时，因数等于倍数；当因数是其他小于它本身的因数时，因数小于倍数。所以综合起来，一个非0自然数的因数一定小于或等于它的倍数。
【解析】
根据因数和倍数的性质：
1. 一个非0自然数的最大因数是它本身；
2. 一个非0自然数的最小倍数是它本身；
由此可知，这个数的因数可能等于它的倍数（当因数是它本身时），也可能小于它的倍数（当因数是其他小于它本身的因数时），所以一个非0自然数的因数一定小于或等于它的倍数，应选③。
【答案】
③
【知识点】
因数与倍数的概念
【点评】
本题主要考查因数和倍数的基本性质，重点在于理解一个数的最大因数和最小倍数都是它本身这一关键知识点，容易因忽略“本身”这一情况而误选①，属于基础概念题。
【难度系数】
0.8
3. 猜数游戏。
答案
3.（1）12 （2）1
解析
【分析】
第一个数：我们需要回忆因数和倍数的特性，一个数的最大因数是它本身，最小倍数也是它本身，所以要找既是12的因数又是12的倍数的数，就是12本身；第二个数：思考哪个数能整除所有非0自然数，只有1能满足，因为任何非0自然数除以1都能得到整数商，所以这个数是1。
【解析】
1. 对于“既是12的因数，又是12的倍数”：
根据因数和倍数的定义，一个数的最大因数是它自身，最小倍数也是它自身，因此满足该条件的数是12。
2. 对于“是所有非0自然数的因数”：
因为所有非0自然数都能被1整除，所以1是所有非0自然数的因数，这个数是1。
【答案】
12；1
【知识点】
因数与倍数概念；1的特性
【点评】
本题考查因数和倍数的基础概念，重点考查“一个数的最大因数和最小倍数都是它本身”以及“1是所有非0自然数的因数”这两个核心知识点，属于基础概念题，帮助学生巩固对因数和倍数的理解。
【难度系数】
0.9
第一个数：我们需要回忆因数和倍数的特性，一个数的最大因数是它本身，最小倍数也是它本身，所以要找既是12的因数又是12的倍数的数，就是12本身；第二个数：思考哪个数能整除所有非0自然数，只有1能满足，因为任何非0自然数除以1都能得到整数商，所以这个数是1。
【解析】
1. 对于“既是12的因数，又是12的倍数”：
根据因数和倍数的定义，一个数的最大因数是它自身，最小倍数也是它自身，因此满足该条件的数是12。
2. 对于“是所有非0自然数的因数”：
因为所有非0自然数都能被1整除，所以1是所有非0自然数的因数，这个数是1。
【答案】
12；1
【知识点】
因数与倍数概念；1的特性
【点评】
本题考查因数和倍数的基础概念，重点考查“一个数的最大因数和最小倍数都是它本身”以及“1是所有非0自然数的因数”这两个核心知识点，属于基础概念题，帮助学生巩固对因数和倍数的理解。
【难度系数】
0.9
1. 五（1）班有学生$45$人，把他们平均分成若干个学习小组，每组多于$3$人且少于$15$人。可以分成几个小组？
答案
1.因为45的因数有1，3，5，9，15，45，所以可以分成5个或9个小组。
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确“平均分成若干个学习小组”意味着每组人数必须是45的因数（因为总人数÷每组人数=组数，结果需为整数）。所以解题思路分为三步：第一步找出45的所有因数；第二步从因数中筛选出满足“多于3人且少于15人”的每组人数；第三步用总人数除以符合条件的每组人数，得到对应的小组数量。
【解析】
1. 找出45的所有因数：
因为 $1×45=45$，$3×15=45$，$5×9=45$，所以45的因数有1、3、5、9、15、45。
2. 筛选符合条件的每组人数：
题目要求每组多于3人且少于15人，所以符合条件的因数是5和9。
3. 计算对应的小组数：
当每组5人时，小组数为 $45÷5=9$（个）；
当每组9人时，小组数为 $45÷9=5$（个）。
【答案】
可以分成5个或9个小组。
【知识点】
因数的应用、平均分问题
【点评】
本题考查因数在实际平均分问题中的应用，需要学生理解平均分与因数的关联，通过筛选符合范围的因数来解决问题，既巩固了找一个数因数的方法，又锻炼了将数学知识应用到实际场景的能力。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先明确“平均分成若干个学习小组”意味着每组人数必须是45的因数（因为总人数÷每组人数=组数，结果需为整数）。所以解题思路分为三步：第一步找出45的所有因数；第二步从因数中筛选出满足“多于3人且少于15人”的每组人数；第三步用总人数除以符合条件的每组人数，得到对应的小组数量。
【解析】
1. 找出45的所有因数：
因为 $1×45=45$，$3×15=45$，$5×9=45$，所以45的因数有1、3、5、9、15、45。
2. 筛选符合条件的每组人数：
题目要求每组多于3人且少于15人，所以符合条件的因数是5和9。
3. 计算对应的小组数：
当每组5人时，小组数为 $45÷5=9$（个）；
当每组9人时，小组数为 $45÷9=5$（个）。
【答案】
可以分成5个或9个小组。
【知识点】
因数的应用、平均分问题
【点评】
本题考查因数在实际平均分问题中的应用，需要学生理解平均分与因数的关联，通过筛选符合范围的因数来解决问题，既巩固了找一个数因数的方法，又锻炼了将数学知识应用到实际场景的能力。
【难度系数】
0.7
2. 已知$m = 2×3×5$，那么$m$的全部因数有多少个？把它们写出来。
答案
2.8个：1，2，3，5，6，10，15，30
解析
【分析】
首先，我们需要先计算出m的值，$m=2×3×5=30$。接下来找一个数的全部因数，有两种清晰思路：一是成对列举法，从1开始，找出能整除30的数，对应的商也是30的因数，这样可以避免遗漏；二是利用质因数分解求因数个数的方法，因为30的质因数是2、3、5，每个质因数的指数都是1，根据因数个数公式（每个质因数的指数+1）相乘，即$(1+1)(1+1)(1+1)=8$个，再列举出所有因数即可。
【解析】
第一步：计算m的值
$m = 2×3×5 = 30$
第二步：成对列举30的因数
$1×30=30$，所以1和30是30的因数；
$2×15=30$，所以2和15是30的因数；
$3×10=30$，所以3和10是30的因数；
$5×6=30$，所以5和6是30的因数。
第三步：统计并整理结果
经统计，30的因数一共有8个，分别为1，2，3，5，6，10，15，30。
【答案】
8个；1，2，3，5，6，10，15，30
【知识点】
因数的概念、找因数的方法、质因数分解求因数个数
【点评】
本题主要考查因数的相关知识，重点在于掌握找因数的方法，成对列举法能有效避免因数的遗漏或重复，利用质因数分解公式可以快速计算因数的个数，是一道基础巩固类题目。
【难度系数】
0.8
首先，我们需要先计算出m的值，$m=2×3×5=30$。接下来找一个数的全部因数，有两种清晰思路：一是成对列举法，从1开始，找出能整除30的数，对应的商也是30的因数，这样可以避免遗漏；二是利用质因数分解求因数个数的方法，因为30的质因数是2、3、5，每个质因数的指数都是1，根据因数个数公式（每个质因数的指数+1）相乘，即$(1+1)(1+1)(1+1)=8$个，再列举出所有因数即可。
【解析】
第一步：计算m的值
$m = 2×3×5 = 30$
第二步：成对列举30的因数
$1×30=30$，所以1和30是30的因数；
$2×15=30$，所以2和15是30的因数；
$3×10=30$，所以3和10是30的因数；
$5×6=30$，所以5和6是30的因数。
第三步：统计并整理结果
经统计，30的因数一共有8个，分别为1，2，3，5，6，10，15，30。
【答案】
8个；1，2，3，5，6，10，15，30
【知识点】
因数的概念、找因数的方法、质因数分解求因数个数
【点评】
本题主要考查因数的相关知识，重点在于掌握找因数的方法，成对列举法能有效避免因数的遗漏或重复，利用质因数分解公式可以快速计算因数的个数，是一道基础巩固类题目。
【难度系数】
0.8
