3. （1）学完全等三角形以后，老师布置了这样一道题：如图1-3，点M，N分别在等边三角形ABC的BC，CA边上，且 BM=CN，AM，BN交于点Q。求证： $ ∠ B Q M=6 0°。 $
(2) 小丽做完后，进行了反思，提出了许多问题，如：
$ \textcircled{1} $若将题中“BM=CN”与“ $ ∠ B Q M=6 0° $”的位置交换，得到的是否仍是真命题？
$ \textcircled{2} $若将题中的点 M，N分别移动到 BC，CA的延长线上，是否仍能得到 $ ∠ B Q M=6 0°? $
请你对上述问题作出判断，并说明理由。

3.(1)证明：
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°。
在△ABM和△BCN中，
∵BM=CN，∠ABM=∠BCN，AB=BC，
∴△ABM≌△BCN(SAS)。
∴∠BAM=∠CBN。
∴∠BQM=∠BAQ+∠ABQ=∠MBQ+∠ABQ=60°。
(2)解：①是真命题。
理由：
∵∠BQM=∠ABM=60°，∠BMQ=∠AMB，
∴∠CBN=∠BAM。
在△ABM和△BCN中，
∵∠BAM=∠CBN，AB=BC，∠ABM=∠BCN，
∴△ABM≌△BCN(ASA)。
∴BM=CN。
②仍能得到∠BQM=60°。
理由：如答图1-2，
∵BM=CN，BC=AC，∠ACB=∠BAC=60°，
∴CM=AN，∠ACM=∠BAN=120°。
在△ACM和△BAN中，
∵CM=AN，∠ACM=∠BAN，AC=BA，
∴△ACM≌△BAN(SAS)。
∴∠M=∠N。
∴∠NQA=∠NBC+∠M=∠NBC+∠N=180°−∠ACB=120°。
∴∠BQM=60°。

1. 【回顾思考】用数学的思维思考现实世界。
(1) 如图1-4 $ \textcircled{1} $ ，在 $ △ ABC $中， $ AB=AC $ ，从下面 $ \textcircled{1} $ $ \textcircled{2} $两题中选择一题加以证明。
$ \textcircled{1} $若BD，CE分别是 $ ∠ A B C $和 $ ∠ A C B $的平分线，求证：BD=CE；
$ \textcircled{2} $若 D，E分别是边AC，AB的中点，连接BD，CE，求证： $ B D=C E $。
(2) 【猜想证明】用数学的眼光观察现实世界。
经过做题反思，小明同学认为：在 $ △ ABC $中，AB=AC，D为边AC上一动点（不与点A，C重合），对于点D在边AC上的任意位置，在另一边AB上总能找到一个与其对应的点E，使得BD=CE。进而提出问题：若点D，E分别运动到边AC，AB的延长线上，BD=CE还成立吗？请解决下面的问题：如图1-4 $ \textcircled{2} $ ，在 $ △ ABC $中，AB=AC，点D，E分别在边AC，AB的延长线上，请添加一个条件（不再添加新的字母），使BD=CE，并证明。
(3) 【拓展探究】用数学的语言表达现实世界。
如图1-4 $ \textcircled{3} $ ，在 $ △ ABC $中， $ AB=AC=3 $ $ ∠ A=36° $ ，E为边AB上任意一点（不与点A， B重合），F为边AC延长线上一点， $ BF=CE $能否成立？若能，指出 $ ∠ ACE $的范围；若不能，请说明理由。

1.(1)证明：①
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB。
∵BD，CE是△ABC的角平分线，
∴∠ABD=$\frac{1}{2}∠ABC$，∠ACE=$\frac{1}{2}∠ACB$。
∴∠ABD=∠ACE。
在△ABD和△ACE中，
∵∠ABD=∠ACE，AB=AC，∠A=∠A，
∴△ABD≌△ACE(ASA)，
∴BD=CE。
②
∵AB=AC，D，E分别是边AC，AB的中点，
∴AE=AD。
在△ABD和△ACE中，
∵AB=AC，∠A=∠A，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴BD=CE。
(2)解：添加条件CD=BE。(答案不唯一)
证明：
∵AB=AC，CD=BE，
∴AC+CD=AB+BE。
∴AD=AE。
在△ABD和△ACE中，
∵AB=AC，∠A=∠A，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)。
∴BD=CE。
(3)解：BF=CE能成立，0°＜∠ACE＜36°。
理由：当E与A重合时，∠ACE=0°，
∵E与A不能重合，
∴∠ACE＞0°。
当F与C重合时，如答图1-3，
此时，BF=BC=CE，
∵∠A=36°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=72°。
∴∠ABC=∠CEB=72°，
∠ACE=∠CEB−∠A=36°。
∴0°＜∠ACE＜36°。