1. 如图1-1，在 $ △ A B C $中， $ AB=AC $ ，点D在BC边上， $ ∠ D A B=9 0°。 $
(1) 当 $ ∠ C=30° $时，求证：BD=2CD。
(2) 当 BD=2CD时， $ ∠ C $ 是否一定为 $ 3 0° $？请判断并说明理由。

1.(1)证明：当∠C=30°时，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C=30°。
又
∵∠DAB=90°，
∴BD=2AD且∠ADB=60°。
∴∠DAC=∠ADB−∠C=30°。
∴∠C=∠DAC=30°。
∴AD=CD。
∴BD=2CD。
(2)解：当BD=2CD时，∠C=30°。理由：
如答图1-1，在BD上取一点M，使AM=BM，
∴∠BAM=∠B。
∵∠DAB=90°，
∴∠B+∠ADB=90°，
∠BAM+∠MAD=90°。
∴∠ADB=∠MAD。
∴AM=MD。
∴AM=BM=DM=$\frac{1}{2}BD$。
∵BD=2CD，
∴BM=CD。
∵AB=AC，
∴∠B=∠C。
在△ABM与△ACD中，
∵AB=AC，∠B=∠C，BM=CD，
∴△ABM≌△ACD(SAS)。
∴AD=AM=MD。
∴∠ADM=60°。
又
∵∠DAB=90°，
∴∠B=30°。
∴∠C=30°。

2. 已知 P为 $ ∠ E A F $平分线上一点， $ P B\bot A E $于点B， $ PC\bot A F $于点C，M，N分别是射线AE，AF上的点，且 $ P M=P N。 $
(1) 如图1-2 $ \textcircled{1} $ ，当点M，N分别在线段AB，AC上时，求证：BM=CN。
(2) 如图1-2 $ \textcircled{2} $ ，当点M在线段AB上，点N在线段AC的延长线上时，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由。
(3) 将题干中的条件“ $ P M=P N $ ”改为“ $ B M=C N $ ”，在此条件下证明： $ P M=P N $ 。

2.(1)证明：
∵P为∠EAF平分线上一点，PB⊥AE，PC⊥AF，
∴PB=PC，∠PBM=∠PCN=90°。
在Rt△PBM和Rt△PCN中，
∵PM=PN，PB=PC，
∴Rt△PBM≌Rt△PCN(HL)。
∴BM=CN。
(2)解：依然成立。
证明：
∵P为∠EAF平分线上一点，PB⊥AE，PC⊥AF，
∴PB=PC，∠PBM=∠PCN=90°。
在Rt△PBM和Rt△PCN中，
∵PM=PN，PB=PC，
∴Rt△PBM≌Rt△PCN(HL)。
∴BM=CN。
(3)证明：无论点M，N分别是射线AE，AF上哪个位置的点，
∵P为∠EAF平分线上一点，PB⊥AE，PC⊥AF，
∴PB=PC，∠PBM=∠PCN=90°。
在△PBM和△PCN中，
∵BM=CN，∠PBM=∠PCN，PB=PC，
∴△PBM≌△PCN(SAS)。
∴PM=PN。