1. 下表是某校合唱团成员的年龄分布情况。

对于不同的$x$，下列关于年龄的统计量中，不会发生改变的是()。

A.平均数、中位数
B.众数、中位数
C.平均数、方差
D.中位数、方差

1. B

2. 为了检验前段时间的训练效果，跳远运动员小勇进行了测试，成绩如下(单位：$m$)：$7.6$，$7.8$，$7.7$，$7.8$，$8.0$，$7.9$。这$6$次成绩的平均数为$7.8m$，方差为$\frac{1}{60}m^{2}$。若小勇再跳两次，成绩分别为$7.7m$和$7.9m$，则小勇这$8$次跳远成绩的方差将()。

A.变大
B.变小
C.不变
D.无法确定

2. B

3. 小聪用$S^{2}=\frac{1}{10}[(x_{1}-3)^{2}+(x_{2}-3)^{2}+···+(x_{10}-3)^{2}]$计算一组数据的方差，那么$x_{1}+x_{2}+x_{3}+···+x_{10}=$。

3. 30

4. 已知一组数据$x_{1}$，$x_{2}$，$···$，$x_{10}$的平均数$\overline{x}=a$，方差$S^{2}=b$。
(1) 数据$x_{1}+1$，$x_{2}+1$，$···$，$x_{10}+1$的平均数为，方差为。
(2) 数据$2x_{1}$，$2x_{2}$，$···$，$2x_{10}$的平均数为，方差为。
(3) 数据$2x_{1}+1$，$2x_{2}+1$，$···$，$2x_{10}+1$的平均数为，方差为。
小贴士：
(1) 将一组数据中的每个数都加上$a$，则新数据的方差和原数据的方差相比，。
(2) 将一组数据中的每个数都扩大到原来的$n$倍，则新数据的方差和原数据的方差相比，。
(3) 将一组数据中的每个数都扩大到原来的$n$倍后又加上$a$，则新数据的方差和原数据的方差相比，。

4. (1) $a+1$ $b$ (2) $2a$ $4b$ (3) $2a+1$ $4b$

5. 小慧求一组数据的方差时，觉得运用公式$S^{2}=\frac{1}{n}[(x_{1}-\overline{x})^{2}+(x_{2}-\overline{x})^{2}+···+(x_{n}-\overline{x})^{2}]$比较麻烦。她发现：方差还可以用公式$S^{2}=\frac{1}{n}[(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+···+x_{n}^{2})-n\overline{x}^{2}]$来计算。你认为小慧的想法正确吗？若$n = 3$，请你帮助小慧验证该简化公式是否正确。

解(证明)：
当$n = 3$时，
原公式$S^{2}=\frac{1}{3}[(x_{1}-\overline{x})^{2}+(x_{2}-\overline{x})^{2}+(x_{3}-\overline{x})^{2}]$
$=\frac{1}{3}[x_{1}^{2}-2x_{1}\overline{x}+\overline{x}^{2}+x_{2}^{2}-2x_{2}\overline{x}+\overline{x}^{2}+x_{3}^{2}-2x_{3}\overline{x}+\overline{x}^{2}]$
$=\frac{1}{3}[(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2})-2(x_{1}+x_{2}+x_{3})\overline{x}+3\overline{x}^{2}]$
因为$\overline{x}=\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}$，所以$x_{1}+x_{2}+x_{3}=3\overline{x}$
则$S^{2}=\frac{1}{3}[(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2})-2×3\overline{x}×\overline{x}+3\overline{x}^{2}]$
$=\frac{1}{3}[(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2})-6\overline{x}^{2}+3\overline{x}^{2}]$
$=\frac{1}{3}[(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2})-3\overline{x}^{2}]$
与简化公式$S^{2}=\frac{1}{n}[(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+··· +x_{n}^{2})-n\overline{x}^{2}]$（$n = 3$时）一致。
所以小慧的想法正确。