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10. 如图，在正方形ABCD中，点E是CD边上的一点，点F为BC延长线上一点，且$ CE = CF $.
（1）求证：$ △ BEC ≌ △ DFC $.
（2）如果$ BC + DF = 9 $，$ CF = 3 $，求正方形ABCD的面积.
（1）求证：$ △ BEC ≌ △ DFC $.
（2）如果$ BC + DF = 9 $，$ CF = 3 $，求正方形ABCD的面积.
答案
10. （1）证明：
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴ $BC = CD$，$∠ BCD = ∠ DCF = 90°$。又
∵ $CE = CF$，
∴ $△ BCE ≌ △ DCF$（SAS）。
（2）解：
∵ $BC + DF = 9$，
∴ $CD + DF = 9$。在 $Rt△ DCF$ 中，$DF^{2} = DC^{2} + CF^{2}$，
∴ $(9 - CD)^{2} = CD^{2} + 3^{2}$，
∴ $CD = 4$，
∴ $S_{正方形 ABCD} = 16$。
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴ $BC = CD$，$∠ BCD = ∠ DCF = 90°$。又
∵ $CE = CF$，
∴ $△ BCE ≌ △ DCF$（SAS）。
（2）解：
∵ $BC + DF = 9$，
∴ $CD + DF = 9$。在 $Rt△ DCF$ 中，$DF^{2} = DC^{2} + CF^{2}$，
∴ $(9 - CD)^{2} = CD^{2} + 3^{2}$，
∴ $CD = 4$，
∴ $S_{正方形 ABCD} = 16$。
解析
【解析】
（1）证明：
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴ $BC = CD$，$∠ BCD=∠ DCF = 90°$。
又∵ $CE = CF$，
在$△ BEC$和$△ DFC$中，
$\begin{cases}BC = CD\\∠ BCE=∠ DCF\\CE = CF\end{cases}$
∴ $△ BEC≌△ DFC$（SAS）。
（2）解：
∵ $BC + DF = 9$，且$BC = CD$，
∴ $CD + DF = 9$，则$DF=9 - CD$。
在$Rt△ DCF$中，根据勾股定理$DF^{2}=DC^{2}+CF^{2}$，
已知$CF = 3$，所以$(9 - CD)^{2}=CD^{2}+3^{2}$。
展开得$81-18CD + CD^{2}=CD^{2}+9$，
移项得$81 - 9=18CD$，
即$72 = 18CD$，
解得$CD = 4$。
因为正方形面积$S = CD^{2}$，
所以$S_{正方形ABCD}=4^{2}=16$。
【答案】
（1）证明过程如上述解析；（2）正方形$ABCD$的面积为$16$。
【知识点】
正方形的性质、全等三角形的判定、勾股定理
【点评】
本题第一问考查正方形性质与全等三角形判定的结合运用，第二问考查勾股定理在正方形中的应用，需要学生对相关知识有清晰的理解和运用能力。
【难度系数】
0.5
（1）证明：
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴ $BC = CD$，$∠ BCD=∠ DCF = 90°$。
又∵ $CE = CF$，
在$△ BEC$和$△ DFC$中，
$\begin{cases}BC = CD\\∠ BCE=∠ DCF\\CE = CF\end{cases}$
∴ $△ BEC≌△ DFC$（SAS）。
（2）解：
∵ $BC + DF = 9$，且$BC = CD$，
∴ $CD + DF = 9$，则$DF=9 - CD$。
在$Rt△ DCF$中，根据勾股定理$DF^{2}=DC^{2}+CF^{2}$，
已知$CF = 3$，所以$(9 - CD)^{2}=CD^{2}+3^{2}$。
展开得$81-18CD + CD^{2}=CD^{2}+9$，
移项得$81 - 9=18CD$，
即$72 = 18CD$，
解得$CD = 4$。
因为正方形面积$S = CD^{2}$，
所以$S_{正方形ABCD}=4^{2}=16$。
【答案】
（1）证明过程如上述解析；（2）正方形$ABCD$的面积为$16$。
【知识点】
正方形的性质、全等三角形的判定、勾股定理
【点评】
本题第一问考查正方形性质与全等三角形判定的结合运用，第二问考查勾股定理在正方形中的应用，需要学生对相关知识有清晰的理解和运用能力。
【难度系数】
0.5
11. 如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，$ CF ⊥ BE $，垂足为F.若$ AB = 1 $，$ ∠ EBC = 30° $，则$ △ ABF $的面积为
$\frac{3}{8}$
.答案
11. $\frac{3}{8}$
解析
【解析】
因为四边形$ABCD$是正方形，$AB = 1$，所以$BC = AB = 1$。
在$Rt△ BCE$中，$∠ EBC = 30°$，$\cos∠ EBC=\frac{BF}{BC}$，则$BF = BC\cos30°=1×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
$\sin∠ EBC=\frac{CF}{BC}$，则$CF = BC\sin30°=1×\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$。
因为$∠ ABF+∠ FBC = 90°$，$∠ BCF+∠ FBC = 90°$，所以$∠ ABF=∠ BCF$。
$\sin∠ ABF=\sin∠ BCF=\frac{CF}{BC}=\frac{1}{2}$。
${S}_{△ ABF}=\frac{1}{2}AB· BF·\sin∠ ABF=\frac{1}{2}×1×\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{1}{2}=\frac{3}{8}$。
【答案】
$\frac{3}{8}$
【知识点】
正方形的性质、三角函数的应用、三角形面积公式
【点评】
本题通过正方形性质得到边的关系，再利用三角函数求出相关线段长度，最后根据三角形面积公式求解，考查知识综合运用。
【难度系数】
0.3
因为四边形$ABCD$是正方形，$AB = 1$，所以$BC = AB = 1$。
在$Rt△ BCE$中，$∠ EBC = 30°$，$\cos∠ EBC=\frac{BF}{BC}$，则$BF = BC\cos30°=1×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
$\sin∠ EBC=\frac{CF}{BC}$，则$CF = BC\sin30°=1×\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$。
因为$∠ ABF+∠ FBC = 90°$，$∠ BCF+∠ FBC = 90°$，所以$∠ ABF=∠ BCF$。
$\sin∠ ABF=\sin∠ BCF=\frac{CF}{BC}=\frac{1}{2}$。
${S}_{△ ABF}=\frac{1}{2}AB· BF·\sin∠ ABF=\frac{1}{2}×1×\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{1}{2}=\frac{3}{8}$。
【答案】
$\frac{3}{8}$
【知识点】
正方形的性质、三角函数的应用、三角形面积公式
【点评】
本题通过正方形性质得到边的关系，再利用三角函数求出相关线段长度，最后根据三角形面积公式求解，考查知识综合运用。
【难度系数】
0.3
12. 如图，正方形ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，且$ BE = DF $.
（1）求证：四边形AECF是平行四边形.
（2）连接EF，若$ BC = 12 $，$ BE = 5 $，求EF的长.
（1）求证：四边形AECF是平行四边形.
（2）连接EF，若$ BC = 12 $，$ BE = 5 $，求EF的长.
答案
12. （1）证明：在正方形 ABCD 中，$AB = CD$，$AB // CD$，
∵ $BE = DF$，
∴ $AB - BE = CD - DF$，
∴ $AE = CF$。又
∵ $AB // CD$，
∴ 四边形 AECF 是平行四边形。
（2）解：过点 E 作 $EH ⊥ CD$ 于点 H，如图所示，
∴ $∠ EHC = ∠ EHF = 90°$。
∵ 四边形 ABCD 是正方形，$BC = 12$，
∴ $AB = BC = CD = AD = 12$，$∠ B = ∠ BCD = 90°$，
∴ $∠ EHC = ∠ B = ∠ BCD = 90°$，
∴ 四边形 EBCH 是矩形，
∴ $EH = BC = 12$，$CH = BE = 5$，
∴ $DH = CD - CH = 12 - 5 = 7$。
∵ $BE = DF = 5$，
∴ $HF = DH - DF = 7 - 5 = 2$。在 $Rt△ EFH$ 中，由勾股定理，得 $EF = \sqrt{EH^{2} + HF^{2}} = \sqrt{12^{2} + 2^{2}} = 2\sqrt{37}$。
解析
【解析】
（1）证明：在正方形$ABCD$中，$AB = CD$，$AB// CD$，
∵ $BE = DF$，
∴ $AB - BE = CD - DF$，
∴ $AE = CF$。又
∵ $AB// CD$，
∴ 四边形$AECF$是平行四边形。
（2）解：过点$E$作$EH⊥CD$于点$H$，
∴ $∠EHC = ∠EHF = 90°$。
∵ 四边形$ABCD$是正方形，$BC = 12$，
∴ $AB = BC = CD = AD = 12$，$∠B = ∠BCD = 90°$，
∴ $∠EHC = ∠B = ∠BCD = 90°$，
∴ 四边形$EBCH$是矩形，
∴ $EH = BC = 12$，$CH = BE = 5$，
∴ $DH = CD - CH = 12 - 5 = 7$。
∵ $BE = DF = 5$，
∴ $HF = DH - DF = 7 - 5 = 2$。在$Rt△EFH$中，由勾股定理，得$EF = \sqrt{EH^{2} + HF^{2}} = \sqrt{12^{2} + 2^{2}} = 2\sqrt{37}$。
【答案】
（1）证明见解析；（2）$2\sqrt{37}$
【知识点】
平行四边形的判定、正方形的性质、勾股定理
【点评】
本题考查平行四边形的判定、正方形的性质以及勾股定理的应用，第一问通过证明对边相等且平行来判定平行四边形，第二问通过作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理求解线段长度。
【难度系数】
0.5
（1）证明：在正方形$ABCD$中，$AB = CD$，$AB// CD$，
∵ $BE = DF$，
∴ $AB - BE = CD - DF$，
∴ $AE = CF$。又
∵ $AB// CD$，
∴ 四边形$AECF$是平行四边形。
（2）解：过点$E$作$EH⊥CD$于点$H$，
∴ $∠EHC = ∠EHF = 90°$。
∵ 四边形$ABCD$是正方形，$BC = 12$，
∴ $AB = BC = CD = AD = 12$，$∠B = ∠BCD = 90°$，
∴ $∠EHC = ∠B = ∠BCD = 90°$，
∴ 四边形$EBCH$是矩形，
∴ $EH = BC = 12$，$CH = BE = 5$，
∴ $DH = CD - CH = 12 - 5 = 7$。
∵ $BE = DF = 5$，
∴ $HF = DH - DF = 7 - 5 = 2$。在$Rt△EFH$中，由勾股定理，得$EF = \sqrt{EH^{2} + HF^{2}} = \sqrt{12^{2} + 2^{2}} = 2\sqrt{37}$。
【答案】
（1）证明见解析；（2）$2\sqrt{37}$
【知识点】
平行四边形的判定、正方形的性质、勾股定理
【点评】
本题考查平行四边形的判定、正方形的性质以及勾股定理的应用，第一问通过证明对边相等且平行来判定平行四边形，第二问通过作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理求解线段长度。
【难度系数】
0.5
