13. (2025·乐山)如图，在$ □ ABCD $中，对角线AC与BD相交于点O.小乐同学欲添加两个条件使得四边形ABCD是正方形，现有三个条件可供选择：①$ AC ⊥ BD $；②$ AC = BD $；③$ ∠ ADC = 90° $.则正确的组合是.(只需填一种组合即可)

13. ①②（或①③）

【解析】
- 若选择①$AC⊥BD$和②$AC = BD$：
因为四边形$ABCD$是平行四边形，$AC⊥BD$，根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，所以平行四边形$ABCD$是菱形。
又因为$AC = BD$，再根据“对角线相等的菱形是正方形”，所以菱形$ABCD$是正方形。
若选择①$AC⊥BD$和③$∠ADC = 90°$：
由于四边形$ABCD$是平行四边形，$AC⊥BD$，由“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，可知平行四边形$ABCD$是菱形。
因为$∠ADC = 90°$，依据“有一个角是直角的菱形是正方形”，所以菱形$ABCD$是正方形。
【答案】
①②（或①③）
【知识点】
平行四边形的性质、菱形的判定、正方形的判定
【点评】
本题考查正方形的判定，需要熟练掌握平行四边形、菱形、正方形之间的关系及判定定理，通过对不同条件组合的分析来确定四边形是否为正方形。
【难度系数】
0.6

14. （2025·浙江）【问题背景】
如图所示，某兴趣小组需要在正方形纸板ABCD上剪下机翼状纸板（阴影部分），点E在对角线BD上.
【数学理解】
（1）该机翼状纸板是由两个全等三角形组成，请写出$ △ ABE ≌ △ CBE $的证明过程.
（2）若裁剪过程中满足$ DE = DA $，求“机翼角”$ ∠ BAE $的度数.

14. （1）证明：
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴ $AB = CB$，$∠ ABD = ∠ CBD$。又
∵ $BE = BE$，
∴ $△ ABE ≌ △ CBE$（SAS）。
（2）解：
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴ $∠ BAD = 90°$，$∠ ADB = 45°$。
∵ $DE = DA$，
∴ $∠ DAE = ∠ DEA$，
∴ $∠ DAE + ∠ DEA + ∠ ADE = 180°$，
∴ $∠ DAE = ∠ DEA = 67.5°$，
∴ $∠ BAE = ∠ BAD - ∠ DAE = 22.5°$。

【解析】
（1）证明：
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴ $AB = CB$，$∠ ABD = ∠ CBD$。
又∵ $BE = BE$，
∴ $△ ABE ≌ △ CBE$（SAS）。
（2）解：
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴ $∠ BAD = 90°$，$∠ ADB = 45°$。
∵ $DE = DA$，
∴ $∠ DAE = ∠ DEA$，
∵ $∠ DAE + ∠ DEA + ∠ ADE = 180°$，
∴ $∠ DAE = ∠ DEA = \frac{180° - 45°}{2}= 67.5°$，
∴ $∠ BAE = ∠ BAD - ∠ DAE = 90° - 67.5°= 22.5°$。
【答案】
（1）证明见解析；（2）$22.5°$
【知识点】
正方形的性质、全等三角形的判定、等腰三角形的性质
【点评】
本题考查正方形性质与全等三角形判定及等腰三角形性质的综合运用，（1）问利用正方形性质和全等三角形判定定理（SAS）证明全等，（2）问先根据正方形性质得出相关角度，再利用等腰三角形性质求出$∠ DAE$，进而求出$∠ BAE$。
【难度系数】
0.6