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4. 下列判断正确的是(
A.四条边相等的四边形是正方形
B.对角线相互垂直平分的平行四边形是正方形
C.四个角相等的四边形是正方形
D.对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
D
)A.四条边相等的四边形是正方形
B.对角线相互垂直平分的平行四边形是正方形
C.四个角相等的四边形是正方形
D.对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
答案
4. D
解析
【解析】
- 选项A：
四条边相等的四边形是菱形，不一定是正方形，因为正方形还需要四个角都是直角，所以A选项错误。
- 选项B：
对角线相互垂直平分的平行四边形是菱形，不一定是正方形，因为正方形还需要对角线相等，所以B选项错误。
- 选项C：
四个角相等的四边形是矩形，不一定是正方形，因为正方形还需要四条边相等，所以C选项错误。
- 选项D：
对角线互相垂直平分的四边形是菱形，对角线相等的菱形是正方形，所以对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，D选项正确。
【答案】
D
【知识点】
正方形的判定、菱形的判定、矩形的判定
【点评】
本题主要考查正方形的判定，需要学生对正方形、菱形、矩形的判定定理有清晰的理解和掌握，通过对每个选项的分析判断，加深对这些特殊四边形判定条件的认识。
【难度系数】
0.4
- 选项A：
四条边相等的四边形是菱形，不一定是正方形，因为正方形还需要四个角都是直角，所以A选项错误。
- 选项B：
对角线相互垂直平分的平行四边形是菱形，不一定是正方形，因为正方形还需要对角线相等，所以B选项错误。
- 选项C：
四个角相等的四边形是矩形，不一定是正方形，因为正方形还需要四条边相等，所以C选项错误。
- 选项D：
对角线互相垂直平分的四边形是菱形，对角线相等的菱形是正方形，所以对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，D选项正确。
【答案】
D
【知识点】
正方形的判定、菱形的判定、矩形的判定
【点评】
本题主要考查正方形的判定，需要学生对正方形、菱形、矩形的判定定理有清晰的理解和掌握，通过对每个选项的分析判断，加深对这些特殊四边形判定条件的认识。
【难度系数】
0.4
5. 如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形向左偏移，使点C落在y轴正半轴上点$ C' $处，则点D的对应点$ D' $的坐标为(
A.$ (-\sqrt{3}, 1) $
B.$ (-2, 1) $
C.$ (-1, \sqrt{3}) $
D.$ (-2, \sqrt{3}) $
D
)A.$ (-\sqrt{3}, 1) $
B.$ (-2, 1) $
C.$ (-1, \sqrt{3}) $
D.$ (-2, \sqrt{3}) $
答案
5. D
解析
【解析】
因为正方形$ABCD$边长为$2$，$AB$中点是坐标原点$O$，所以$AO = BO = 1$。
在$Rt△ BOC'$中，$BC' = 2$，$BO = 1$，根据勾股定理$OC'=\sqrt{BC'^{2}-BO^{2}}=\sqrt{2^{2}-1^{2}}=\sqrt{3}$。
因为$AD' = AD = 2$，$AD'// BC'$，所以点$D'$的横坐标与$A$点横坐标相同为$-2$，纵坐标与$C'$点纵坐标相同为$\sqrt{3}$，即$D'(-2,\sqrt{3})$。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理、正方形的性质、坐标与图形性质
【点评】
本题通过正方形性质和勾股定理求解点坐标，考查对几何图形性质和坐标知识的综合运用。
【难度系数】
0.3
因为正方形$ABCD$边长为$2$，$AB$中点是坐标原点$O$，所以$AO = BO = 1$。
在$Rt△ BOC'$中，$BC' = 2$，$BO = 1$，根据勾股定理$OC'=\sqrt{BC'^{2}-BO^{2}}=\sqrt{2^{2}-1^{2}}=\sqrt{3}$。
因为$AD' = AD = 2$，$AD'// BC'$，所以点$D'$的横坐标与$A$点横坐标相同为$-2$，纵坐标与$C'$点纵坐标相同为$\sqrt{3}$，即$D'(-2,\sqrt{3})$。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理、正方形的性质、坐标与图形性质
【点评】
本题通过正方形性质和勾股定理求解点坐标，考查对几何图形性质和坐标知识的综合运用。
【难度系数】
0.3
6. 如图，正方形ABCD的边长为3，E为CD的中点，连接BE，$ AF ⊥ BE $于点F，连接DF，则$ DF = $
3
.答案
6. 3
7. 如图，正方形ABCD中，点E是对角线BD上的一点，且$ BE = AB $，连接CE，AE，则$ ∠ AEC $的度数为
$135°$
.答案
7. $135°$
解析
【解析】
因为四边形$ABCD$是正方形，所以$∠ ABD = 45°$，$AB = BC$。
又因为$BE = AB$，所以$BE = BC$，则$∠ BEC=∠ BCE$。
根据三角形内角和为$180°$，可得$∠ BEC=(180° - 45°)÷2 = 67.5°$。
因为$AB = BE$，$∠ ABE = 45°$，所以$∠ AEB=(180° - 45°)÷2 = 67.5°$。
那么$∠ AEC=∠ AEB+∠ BEC = 67.5°+67.5°=135°$。
【答案】
$135°$
【知识点】
正方形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题综合考查了正方形和等腰三角形的相关性质，通过角度的计算求解$∠ AEC$的度数，需要学生对这些知识点有清晰的理解和运用能力。
【难度系数】
0.3
因为四边形$ABCD$是正方形，所以$∠ ABD = 45°$，$AB = BC$。
又因为$BE = AB$，所以$BE = BC$，则$∠ BEC=∠ BCE$。
根据三角形内角和为$180°$，可得$∠ BEC=(180° - 45°)÷2 = 67.5°$。
因为$AB = BE$，$∠ ABE = 45°$，所以$∠ AEB=(180° - 45°)÷2 = 67.5°$。
那么$∠ AEC=∠ AEB+∠ BEC = 67.5°+67.5°=135°$。
【答案】
$135°$
【知识点】
正方形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题综合考查了正方形和等腰三角形的相关性质，通过角度的计算求解$∠ AEC$的度数，需要学生对这些知识点有清晰的理解和运用能力。
【难度系数】
0.3
8. 如图，在正方形ABCD中，$ AB = 6 $，点Q是AB边上的一个动点(点Q不与点B重合)，点M，N分别是DQ，BQ的中点，则线段$ MN = $
$3\sqrt{2}$
.答案
8. $3\sqrt{2}$
解析
【解析】
连接$BD$。
因为四边形$ABCD$是正方形，$AB = 6$，根据勾股定理$BD=\sqrt{AB^{2}+AD^{2}}=\sqrt{6^{2}+6^{2}} = 6\sqrt{2}$。
因为点$M$，$N$分别是$DQ$，$BQ$的中点，所以$MN$是$△ DBQ$的中位线。
根据三角形中位线定理，$MN=\dfrac{1}{2}BD$，则$MN=\dfrac{1}{2}×6\sqrt{2}=3\sqrt{2}$。
【答案】
$3\sqrt{2}$
【知识点】
正方形性质、勾股定理、三角形中位线定理
【点评】
本题通过连接正方形对角线，利用三角形中位线定理求解线段长度，考查对几何图形性质和定理的综合运用能力。
【难度系数】
0.4
连接$BD$。
因为四边形$ABCD$是正方形，$AB = 6$，根据勾股定理$BD=\sqrt{AB^{2}+AD^{2}}=\sqrt{6^{2}+6^{2}} = 6\sqrt{2}$。
因为点$M$，$N$分别是$DQ$，$BQ$的中点，所以$MN$是$△ DBQ$的中位线。
根据三角形中位线定理，$MN=\dfrac{1}{2}BD$，则$MN=\dfrac{1}{2}×6\sqrt{2}=3\sqrt{2}$。
【答案】
$3\sqrt{2}$
【知识点】
正方形性质、勾股定理、三角形中位线定理
【点评】
本题通过连接正方形对角线，利用三角形中位线定理求解线段长度，考查对几何图形性质和定理的综合运用能力。
【难度系数】
0.4
9. 如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AC上一点，连接EB，ED.
（1）求证：$ △ EBC ≌ △ EDC $.
（2）延长BE交AD于点F，当$ CE = BC $时，求$ ∠ EFD $的度数.
（1）求证：$ △ EBC ≌ △ EDC $.
（2）延长BE交AD于点F，当$ CE = BC $时，求$ ∠ EFD $的度数.
答案
9. （1）证明：
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴ $AD // BC$，$BC = CD$，$∠ BCE = ∠ DCE = 45°$。
∵ $\begin{cases} BC = CD, \\ ∠ BCE = ∠ DCE = 45°, \\ EC = EC, \end{cases}$
∴ $△ EBC ≌ △ EDC$（SAS）。
（2）解：
∵ $CE = BC$，且 $∠ ACB = 45°$，
∴ $∠ EBC = ∠ BEC = 67.5°$。
∵ $AD // BC$，
∴ $∠ AFB = ∠ FBC = 67.5°$。
∵ $∠ EFD + ∠ AFB = 180°$，
∴ $∠ EFD = 112.5°$。
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴ $AD // BC$，$BC = CD$，$∠ BCE = ∠ DCE = 45°$。
∵ $\begin{cases} BC = CD, \\ ∠ BCE = ∠ DCE = 45°, \\ EC = EC, \end{cases}$
∴ $△ EBC ≌ △ EDC$（SAS）。
（2）解：
∵ $CE = BC$，且 $∠ ACB = 45°$，
∴ $∠ EBC = ∠ BEC = 67.5°$。
∵ $AD // BC$，
∴ $∠ AFB = ∠ FBC = 67.5°$。
∵ $∠ EFD + ∠ AFB = 180°$，
∴ $∠ EFD = 112.5°$。
解析
【解析】
（1）证明：
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴ $AD// BC$，$BC = CD$，$∠ BCE=∠ DCE = 45°$。
在$△ EBC$和$△ EDC$中，
$\begin{cases}BC = CD\\∠ BCE=∠ DCE = 45°\\EC = EC\end{cases}$
∴ $△ EBC≌△ EDC$（SAS）。
（2）解：
∵ $CE = BC$，$∠ ACB = 45°$，
根据三角形内角和为$180°$，可得$∠ EBC=∠ BEC=\frac{180°-∠ ACB}{2}=\frac{180°-45°}{2}=67.5°$。
∵ $AD// BC$，
根据两直线平行，内错角相等，可得$∠ AFB=∠ FBC = 67.5°$。
又∵ $∠ EFD+∠ AFB = 180°$（邻补角互补），
∴ $∠ EFD=180°-∠ AFB=180°-67.5°=112.5°$。
【答案】
（1）证明见解析；（2）$112.5°$
【知识点】
正方形的性质、全等三角形的判定（SAS）、三角形内角和定理
【点评】
本题第一问考查利用正方形性质和全等三角形判定定理证明三角形全等，第二问考查利用正方形性质、平行线性质和三角形内角和定理求角度，整体考查较为综合。
【难度系数】
0.6
（1）证明：
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴ $AD// BC$，$BC = CD$，$∠ BCE=∠ DCE = 45°$。
在$△ EBC$和$△ EDC$中，
$\begin{cases}BC = CD\\∠ BCE=∠ DCE = 45°\\EC = EC\end{cases}$
∴ $△ EBC≌△ EDC$（SAS）。
（2）解：
∵ $CE = BC$，$∠ ACB = 45°$，
根据三角形内角和为$180°$，可得$∠ EBC=∠ BEC=\frac{180°-∠ ACB}{2}=\frac{180°-45°}{2}=67.5°$。
∵ $AD// BC$，
根据两直线平行，内错角相等，可得$∠ AFB=∠ FBC = 67.5°$。
又∵ $∠ EFD+∠ AFB = 180°$（邻补角互补），
∴ $∠ EFD=180°-∠ AFB=180°-67.5°=112.5°$。
【答案】
（1）证明见解析；（2）$112.5°$
【知识点】
正方形的性质、全等三角形的判定（SAS）、三角形内角和定理
【点评】
本题第一问考查利用正方形性质和全等三角形判定定理证明三角形全等，第二问考查利用正方形性质、平行线性质和三角形内角和定理求角度，整体考查较为综合。
【难度系数】
0.6
