问题1：测量$OA$和$OC$的长，可得到什么结论?

OA=OC.

【解析】
通过测量线段$OA$和$OC$的长度，可发现二者长度相等，因此得到结论$OA=OC$。
【答案】
$OA=OC$
【知识点】
线段长度测量
【点评】
本题通过实际测量操作，直观得出线段相等的结论，有助于培养动手操作能力与观察归纳能力。
【难度系数】
0.9

问题2：测量$OB$和$OD$的长，可得到什么结论?

OB=OD.

【解析】
测量线段OB和OD的长度，可发现二者长度相等，因此得到结论：OB=OD。
【答案】
OB=OD
【知识点】
线段长度测量、线段相等
【点评】
本题考查线段长度的测量及观察归纳能力，通过实际测量直观得出线段相等的结论，培养动手操作与观察总结的能力。
【难度系数】
0.9

问题3：请证明问题1和问题2的结论.

证明:因为四边形ABCD是平行四边形,所以AD//BC,AD=BC,
所以∠DAC=∠ACB,∠ADB=∠DBC.在△AOD和△COB中，
{∠DAO=∠BCO,
AD=CB,
∠ADO=∠CBO,
所以△AOD≌△COB(ASA),
所以OA=OC,OB=OD.

【解析】
已知四边形ABCD是平行四边形，证明如下：
1. 因为四边形ABCD是平行四边形，所以$AD// BC$，$AD=BC$；
2. 由平行线的内错角相等，可得$∠ DAC=∠ ACB$，$∠ ADB=∠ DBC$；
3. 在$△ AOD$和$△ COB$中：
$ \begin{cases} ∠ DAO=∠ BCO \\ AD=CB \\ ∠ ADO=∠ CBO \end{cases} $
4. 根据角边角（ASA）判定定理，可得$△ AOD≌△ COB$；
5. 由全等三角形的对应边相等，推出$OA=OC$，$OB=OD$，即问题1和问题2的结论得证。
【答案】
问题1和问题2的结论（平行四边形的对角线互相平分）得证。
【知识点】
平行四边形性质、ASA全等判定、全等三角形性质
【点评】
本题主要考查平行四边形性质与全等三角形的综合应用，通过平行四边形的边与角的性质构造全等条件，利用全等三角形性质证明线段相等，是几何基础证明的典型题型。
【难度系数】
0.6

平行四边形的对角线.

互相平分

【解析】
根据平行四边形的性质可知，平行四边形的对角线互相平分。
【答案】
互相平分
【知识点】
平行四边形的性质
【点评】
本题考查平行四边形的基本性质，属于基础识记类题目，需熟练掌握平行四边形的各类特征。
【难度系数】
0.9

1. 两条平行线中，一条直线上到另一条直线的距离，叫作这两条平行线之间的距离.

1.任意一点

【解析】
根据两条平行线之间距离的定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫作这两条平行线之间的距离。
【答案】
任意一点
【知识点】
平行线间的距离定义
【点评】
本题考查平行线之间距离的基本定义，属于基础概念题，需准确记忆相关概念内容。
【难度系数】
0.9

2. 平行线之间的距离处处.

2.相等

【解析】
根据平行线间距离的定义：从一条平行线上的任意一点向另一条平行线作垂线，垂线段的长度即为平行线之间的距离。由平行线的性质可知，所有这样的垂线段长度都相等，因此平行线之间的距离处处相等。
【答案】
相等
【知识点】
平行线间的距离性质
【点评】
本题考查平行线的基础性质，是几何中的核心基础知识点，需熟练掌握，该性质常应用于平行四边形、梯形等图形的面积计算中。
【难度系数】
0.9

3. 夹在两条平行线之间的任何两条平行线段都.

3.相等

【解析】
夹在两条平行线之间的两条平行线段，可与两条平行线构成平行四边形，根据平行四边形对边相等的性质，可知这两条平行线段相等。
【答案】
相等
【知识点】
平行四边形的性质、平行线的性质
【点评】
本题属于基础几何概念题，主要考查平行线间平行线段的性质，通过平行四边形的判定与性质推导结论，帮助巩固对平行线及平行四边形相关性质的理解。
【难度系数】
0.9

【例1】如图，$□ ABCD$的对角线$AC$，$BD$相交于点$O$，$M$是$AO$的中点，$N$是$CO$的中点，求证：$BM// DN$，$BM = DN$.

思路分析
思考1：要证明$BM$和$DN$平行且相等，可证明哪两个三角形全等?
思考2：证明这两个三角形全等，需要哪些条件?
证明：

思路分析
思考1:△OMB≌△OND.
思考2:MO=NO,∠DON=∠BOM,OB=OD.
证明:如图所示.

因为四边形ABCD为平行四边形，
所以AO=OC,OD=OB.
因为M是AO的中点,N是CO的中点，所以MO=NO.
在△OMB和△OND中,{MO=NO,
∠1=∠2,
OB=OD,
所以△OMB≌△OND(SAS),
所以BM=DN,∠3=∠4,
所以BM//DN.

【解析】
思路分析：
思考1：要证明$BM$和$DN$平行且相等，可证明$△ OMB ≌ △ OND$；
思考2：证明这两个三角形全等，需要的条件为$MO=NO$，$∠ BOM=∠ DON$，$OB=OD$。
证明过程：
因为四边形$ABCD$是平行四边形，
所以$AO=OC$，$OD=OB$（平行四边形的对角线互相平分）。
又因为$M$是$AO$的中点，$N$是$CO$的中点，
所以$MO=\frac{1}{2}AO$，$NO=\frac{1}{2}CO$，因此$MO=NO$。
在$△ OMB$和$△ OND$中：
$\begin{cases}MO=NO \\∠ BOM=∠ DON（对顶角相等） \\OB=OD\end{cases}$
所以$△ OMB ≌ △ OND$（SAS）。
由全等三角形的性质可得：$BM=DN$，$∠ 3=∠ 4$。
因为$∠ 3=∠ 4$，所以$BM // DN$（内错角相等，两直线平行）。
【答案】
$BM// DN$，$BM = DN$得证。
【知识点】
平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质
【点评】
本题通过构造全等三角形，将线段的平行与相等问题转化为全等三角形的对应边、对应角问题，是解决此类几何问题的常用方法，需熟练掌握平行四边形的性质和全等三角形的判定定理。
【难度系数】
0.7