14. 已知：$\dfrac{1}{1× 2}=1-\dfrac{1}{2}$，$\dfrac{1}{2× 3}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}$，$\dfrac{1}{3× 4}=\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}$，…
(1) 根据你发现的规律写出第 $ n $ 个($ n $ 为正整数)式子是；
(2) 利用这个规律解方程 $\dfrac{1}{x(x + 1)}+\dfrac{1}{(x + 1)(x + 2)}+···+\dfrac{1}{(x + 9)(x + 10)}=\dfrac{1}{x + 10}$.

14. 解：(1) $\frac{1}{n × (n + 1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}$。
(2) 原方程可化为 $(\frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1}) + (\frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x + 2}) + ··· + (\frac{1}{x + 9} - \frac{1}{x + 10}) = \frac{1}{x + 10}$，即 $\frac{1}{x} - \frac{1}{x + 10} = \frac{1}{x + 10}$，解得 $x = 10$。
检验：当 $x = 10$ 时，原分式方程的最简公分母不为 $0$，所以 $x = 10$ 是原分式方程的根。
![img alt=14(2)公式]

【解析】
(1) 观察已知式子的规律，分子为1，分母是两个连续正整数$n$和$n+1$的乘积，可得第$n$个式子为：$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$；
(2) 利用裂项规律拆分原方程左边的每一项：
$(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1})+(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2})+\dots+(\frac{1}{x+9}-\frac{1}{x+10})=\frac{1}{x+10}$
中间项抵消后化简得：$\frac{1}{x}-\frac{1}{x+10}=\frac{1}{x+10}$
移项得：$\frac{1}{x}=\frac{2}{x+10}$
交叉相乘求解：$x+10=2x$，解得$x=10$
检验：当$x=10$时，原分式方程的最简公分母不为0，故$x=10$是原方程的根。
【答案】
(1) $\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$；
(2) $x=10$
【知识点】
分式裂项相消、解分式方程、规律探究
【点评】
本题考查分式裂项相消法的应用及分式方程的求解，通过规律将复杂分式和简化，解分式方程需检验根的合理性，避免增根。
【难度系数】
0.6