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12. 代数式 $\dfrac{1 - x}{x - 2}-\dfrac{1}{2 - x}+2$ 的值可能为 0 吗？为什么？
答案
12. 解：不能为 $0$。
理由：令代数式的值为 $0$，则 $\frac{1 - x}{x - 2} - \frac{1}{2 - x} + 2 = 0$，
两边同乘 $(x - 2)$，得 $1 - x + 1 + 2(x - 2) = 0$，解得 $x = 2$。经检验 $x = 2$ 是增根，原方程无解，所以 $\frac{1 - x}{x - 2} - \frac{1}{2 - x} + 2$ 的值不能为 $0$。
理由：令代数式的值为 $0$，则 $\frac{1 - x}{x - 2} - \frac{1}{2 - x} + 2 = 0$，
两边同乘 $(x - 2)$，得 $1 - x + 1 + 2(x - 2) = 0$，解得 $x = 2$。经检验 $x = 2$ 是增根，原方程无解，所以 $\frac{1 - x}{x - 2} - \frac{1}{2 - x} + 2$ 的值不能为 $0$。
解析
【解析】
令该代数式的值为0，则$\dfrac{1 - x}{x - 2}-\dfrac{1}{2 - x}+2=0$，
两边同乘$(x - 2)$，得$1 - x + 1 + 2(x - 2)=0$，
解得$x=2$。
经检验，$x=2$时原分式的分母$x-2=0$，分式无意义，所以$x=2$是增根，原方程无解，因此该代数式的值不能为0。
【答案】
不能为0，理由见解析。
【知识点】
分式方程的解法、增根的概念
【点评】
本题考查分式方程的求解及增根的判断，解题关键是解分式方程后必须进行检验，避免忽略分式有意义的条件导致错误。
【难度系数】
0.6
令该代数式的值为0，则$\dfrac{1 - x}{x - 2}-\dfrac{1}{2 - x}+2=0$，
两边同乘$(x - 2)$，得$1 - x + 1 + 2(x - 2)=0$，
解得$x=2$。
经检验，$x=2$时原分式的分母$x-2=0$，分式无意义，所以$x=2$是增根，原方程无解，因此该代数式的值不能为0。
【答案】
不能为0，理由见解析。
【知识点】
分式方程的解法、增根的概念
【点评】
本题考查分式方程的求解及增根的判断，解题关键是解分式方程后必须进行检验，避免忽略分式有意义的条件导致错误。
【难度系数】
0.6
13. 先阅读下面的材料，然后回答问题.
方程 $ x+\dfrac{1}{x}=2+\dfrac{1}{2} $ 的解为 $ x_{1}=2 $，$ x_{2}=\dfrac{1}{2} $；
方程 $ x+\dfrac{1}{x}=3+\dfrac{1}{3} $ 的解为 $ x_{1}=3 $，$ x_{2}=\dfrac{1}{3} $；
方程 $ x+\dfrac{1}{x}=4+\dfrac{1}{4} $ 的解为 $ x_{1}=4 $，$ x_{2}=\dfrac{1}{4} $；
…
(1) 观察上述方程的解，猜想关于 $ x $ 的方程 $ x+\dfrac{1}{x}=2025+\dfrac{1}{2025} $ 的解是
(2) 猜想关于 $ x $ 的方程 $ x-\dfrac{1}{x}=-\dfrac{1}{5}+5 $ 的解并验证你的结论；
(3) 请仿照上述方程的解法，对方程 $ y+\dfrac{2y + 5}{y + 2}=\dfrac{26}{5} $ 进行变形，并求出方程的解.
方程 $ x+\dfrac{1}{x}=2+\dfrac{1}{2} $ 的解为 $ x_{1}=2 $，$ x_{2}=\dfrac{1}{2} $；
方程 $ x+\dfrac{1}{x}=3+\dfrac{1}{3} $ 的解为 $ x_{1}=3 $，$ x_{2}=\dfrac{1}{3} $；
方程 $ x+\dfrac{1}{x}=4+\dfrac{1}{4} $ 的解为 $ x_{1}=4 $，$ x_{2}=\dfrac{1}{4} $；
…
(1) 观察上述方程的解，猜想关于 $ x $ 的方程 $ x+\dfrac{1}{x}=2025+\dfrac{1}{2025} $ 的解是
$x_{1} = 2025$，$x_{2} = \frac{1}{2025}$
；(2) 猜想关于 $ x $ 的方程 $ x-\dfrac{1}{x}=-\dfrac{1}{5}+5 $ 的解并验证你的结论；
(3) 请仿照上述方程的解法，对方程 $ y+\dfrac{2y + 5}{y + 2}=\dfrac{26}{5} $ 进行变形，并求出方程的解.
答案
13. 解：(1) $x_{1} = 2025$，$x_{2} = \frac{1}{2025}$
(2) 猜想关于 $x$ 的方程解为 $x_{1} = 5$，$x_{2} = -\frac{1}{5}$。
(3) $y + \frac{2y + 5}{y + 2} = \frac{26}{5}$，方程变形，
得 $y + \frac{2y + 4 + 1}{y + 2} = \frac{26}{5}$，即 $y + 2 + \frac{1}{y + 2} = 5 + \frac{1}{5}$，
则 $y + 2 = 5$ 或 $y + 2 = \frac{1}{5}$，
解得 $y_{1} = 3$，$y_{2} = -\frac{9}{5}$。
(2) 猜想关于 $x$ 的方程解为 $x_{1} = 5$，$x_{2} = -\frac{1}{5}$。
(3) $y + \frac{2y + 5}{y + 2} = \frac{26}{5}$，方程变形，
得 $y + \frac{2y + 4 + 1}{y + 2} = \frac{26}{5}$，即 $y + 2 + \frac{1}{y + 2} = 5 + \frac{1}{5}$，
则 $y + 2 = 5$ 或 $y + 2 = \frac{1}{5}$，
解得 $y_{1} = 3$，$y_{2} = -\frac{9}{5}$。
解析
【解析】
(1) 观察所给方程及其解的规律：方程$x+\dfrac{1}{x}=a+\dfrac{1}{a}$的解为$x_1=a$，$x_2=\dfrac{1}{a}$，因此方程$x+\dfrac{1}{x}=2025+\dfrac{1}{2025}$的解为$x_1=2025$，$x_2=\dfrac{1}{2025}$。
(2) 先将方程$x-\dfrac{1}{x}=-\dfrac{1}{5}+5$变形为$x+\dfrac{-1}{x}=5+\dfrac{-1}{5}$，类比规律猜想解为$x_1=5$，$x_2=-\dfrac{1}{5}$。
验证：
当$x=5$时，左边$=5-\dfrac{1}{5}=\dfrac{24}{5}$，右边$=-\dfrac{1}{5}+5=\dfrac{24}{5}$，左边=右边，成立；
当$x=-\dfrac{1}{5}$时，左边$=-\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{-\dfrac{1}{5}}=-\dfrac{1}{5}+5=\dfrac{24}{5}$，右边$=\dfrac{24}{5}$，左边=右边，成立。
(3) 对方程$y+\dfrac{2y + 5}{y + 2}=\dfrac{26}{5}$变形：
将分子$2y+5$拆分为$2(y+2)+1$，则左边$=y+\dfrac{2(y+2)+1}{y+2}=y+2+\dfrac{1}{y+2}$，
右边$\dfrac{26}{5}=5+\dfrac{1}{5}$，此时方程变为$y+2+\dfrac{1}{y+2}=5+\dfrac{1}{5}$，
类比规律可得$y+2=5$或$y+2=\dfrac{1}{5}$，
解得$y_1=5-2=3$，$y_2=\dfrac{1}{5}-2=-\dfrac{9}{5}$。
【答案】
(1) $x_1=2025$，$x_2=\dfrac{1}{2025}$；
(2) $x_1=5$，$x_2=-\dfrac{1}{5}$；
(3) $y_1=3$，$y_2=-\dfrac{9}{5}$。
【知识点】
分式方程的解，规律探究，换元法思想
【点评】
本题通过观察已知分式方程的解总结通用规律，再利用规律解决新的分式方程问题，考查了学生的观察归纳能力和分式方程的验证求解能力，需熟练掌握分式方程的变形技巧与规律迁移方法。
【难度系数】
0.6
(1) 观察所给方程及其解的规律：方程$x+\dfrac{1}{x}=a+\dfrac{1}{a}$的解为$x_1=a$，$x_2=\dfrac{1}{a}$，因此方程$x+\dfrac{1}{x}=2025+\dfrac{1}{2025}$的解为$x_1=2025$，$x_2=\dfrac{1}{2025}$。
(2) 先将方程$x-\dfrac{1}{x}=-\dfrac{1}{5}+5$变形为$x+\dfrac{-1}{x}=5+\dfrac{-1}{5}$，类比规律猜想解为$x_1=5$，$x_2=-\dfrac{1}{5}$。
验证：
当$x=5$时，左边$=5-\dfrac{1}{5}=\dfrac{24}{5}$，右边$=-\dfrac{1}{5}+5=\dfrac{24}{5}$，左边=右边，成立；
当$x=-\dfrac{1}{5}$时，左边$=-\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{-\dfrac{1}{5}}=-\dfrac{1}{5}+5=\dfrac{24}{5}$，右边$=\dfrac{24}{5}$，左边=右边，成立。
(3) 对方程$y+\dfrac{2y + 5}{y + 2}=\dfrac{26}{5}$变形：
将分子$2y+5$拆分为$2(y+2)+1$，则左边$=y+\dfrac{2(y+2)+1}{y+2}=y+2+\dfrac{1}{y+2}$，
右边$\dfrac{26}{5}=5+\dfrac{1}{5}$，此时方程变为$y+2+\dfrac{1}{y+2}=5+\dfrac{1}{5}$，
类比规律可得$y+2=5$或$y+2=\dfrac{1}{5}$，
解得$y_1=5-2=3$，$y_2=\dfrac{1}{5}-2=-\dfrac{9}{5}$。
【答案】
(1) $x_1=2025$，$x_2=\dfrac{1}{2025}$；
(2) $x_1=5$，$x_2=-\dfrac{1}{5}$；
(3) $y_1=3$，$y_2=-\dfrac{9}{5}$。
【知识点】
分式方程的解，规律探究，换元法思想
【点评】
本题通过观察已知分式方程的解总结通用规律，再利用规律解决新的分式方程问题，考查了学生的观察归纳能力和分式方程的验证求解能力，需熟练掌握分式方程的变形技巧与规律迁移方法。
【难度系数】
0.6
