【例5】已知二次函数 $ y= ax^{2}+bx+3(a \neq 0) $ 的图象过点(1,0).
(1)若该函数图象的对称轴为直线 $ x= -1 $,求该函数的表达式.
(2)在(1)的条件下,当 $ n \leq x \leq n+4 $ 时,函数y有最小值-5,求n的值.
(1)若该函数图象的对称轴为直线 $ x= -1 $,求该函数的表达式.
(2)在(1)的条件下,当 $ n \leq x \leq n+4 $ 时,函数y有最小值-5,求n的值.
答案
解:
(1)由已知得$\left\{\begin{array}{l} 0=a+b+3,\\ -\frac {b}{2a}=-1.\end{array}\right. $
$\therefore \left\{\begin{array}{l} a=-1,\\ b=-2,\end{array}\right. \therefore y=-x^{2}-2x+3.$
(2)n和$n+4$的中点为$n+2,$
①若$n+2≤-1$,即$n≤-3,$
则当$x=n$时,$y_{最小值}=-n^{2}-2n+3=-5,$
解得$n=-4$或$n=2$(不合题意,舍去);
②若$n＞-3,$
则当$x=n+4$时,$y_{最小值}=-(n+4)^{2}-2(n+4)+3$
$=-5$,解得$n=-2$或$n=-8$(不合题意,舍去).
综上所述,$n=-4$或$n=-2.$
(1)由已知得$\left\{\begin{array}{l} 0=a+b+3,\\ -\frac {b}{2a}=-1.\end{array}\right. $
$\therefore \left\{\begin{array}{l} a=-1,\\ b=-2,\end{array}\right. \therefore y=-x^{2}-2x+3.$
(2)n和$n+4$的中点为$n+2,$
①若$n+2≤-1$,即$n≤-3,$
则当$x=n$时,$y_{最小值}=-n^{2}-2n+3=-5,$
解得$n=-4$或$n=2$(不合题意,舍去);
②若$n＞-3,$
则当$x=n+4$时,$y_{最小值}=-(n+4)^{2}-2(n+4)+3$
$=-5$,解得$n=-2$或$n=-8$(不合题意,舍去).
综上所述,$n=-4$或$n=-2.$
【变式1】已知点 $ A(4,y_{1}) $,$ B(1,y_{2}) $,$ C(-2,y_{3}) $ 都在二次函数 $ y= (x-2)^{2}-1 $ 的图象上,则 $ y_{1},y_{2},y_{3} $ 的大小关系为( )
A.$ y_{1} ＜ y_{3} ＜ y_{2} $
B.$ y_{2} ＜ y_{1} ＜ y_{3} $
C.$ y_{1} ＜ y_{2} ＜ y_{3} $
D.$ y_{3} ＜ y_{1} ＜ y_{2} $
A.$ y_{1} ＜ y_{3} ＜ y_{2} $
B.$ y_{2} ＜ y_{1} ＜ y_{3} $
C.$ y_{1} ＜ y_{2} ＜ y_{3} $
D.$ y_{3} ＜ y_{1} ＜ y_{2} $
答案
B
解析
当$x=4$时，$y_{1}=(4 - 2)^{2}-1=2^{2}-1=4 - 1=3$；
当$x=1$时，$y_{2}=(1 - 2)^{2}-1=(-1)^{2}-1=1 - 1=0$；
当$x=-2$时，$y_{3}=(-2 - 2)^{2}-1=(-4)^{2}-1=16 - 1=15$；
因为$0＜3＜15$，所以$y_{2}＜y_{1}＜y_{3}$。
B
当$x=1$时，$y_{2}=(1 - 2)^{2}-1=(-1)^{2}-1=1 - 1=0$；
当$x=-2$时，$y_{3}=(-2 - 2)^{2}-1=(-4)^{2}-1=16 - 1=15$；
因为$0＜3＜15$，所以$y_{2}＜y_{1}＜y_{3}$。
B
【变式2】二次函数 $ y= x^{2}-2ax+a $(a为常数)的图象经过点 $ A(-4,y_{1}) $,$ B(-1,y_{2}) $,$ C(3,y_{3}) $. 若 $ y_{1} ＞ y_{3} ＞ y_{2} $,则a的取值范围为______.
答案
$-\frac {1}{2}＜a＜1$【解析】$\because y=x^{2}-2ax+a,$
∴抛物线的对称轴为直线$x=-\frac {-2a}{2}=a$,且开口向上,$\because y_{1}＞y_{3}＞y_{2},$
∴点$A(-4,y_{1})$在对称轴的左侧,$C(3,y_{3})$在对称轴的右侧,且点A到对称轴的距离大于点C到对称轴的距离,
$\therefore a-(-4)＞3-a＞a-(-1),$
解得$-\frac {1}{2}＜a＜1.$
∴抛物线的对称轴为直线$x=-\frac {-2a}{2}=a$,且开口向上,$\because y_{1}＞y_{3}＞y_{2},$
∴点$A(-4,y_{1})$在对称轴的左侧,$C(3,y_{3})$在对称轴的右侧,且点A到对称轴的距离大于点C到对称轴的距离,
$\therefore a-(-4)＞3-a＞a-(-1),$
解得$-\frac {1}{2}＜a＜1.$
1. 下列函数是二次函数的是( )
A.$ y= 2x-1 $
B.$ y= \sqrt{x^{2}-1} $
C.$ y= x^{2}-1 $
D.$ y= \frac{1}{2x} $
A.$ y= 2x-1 $
B.$ y= \sqrt{x^{2}-1} $
C.$ y= x^{2}-1 $
D.$ y= \frac{1}{2x} $
答案
C
2. 抛物线 $ y= x^{2}-2 $ 的顶点坐标是( )
A.(-2,0)
B.(2,0)
C.(0,2)
D.(0,-2)
A.(-2,0)
B.(2,0)
C.(0,2)
D.(0,-2)
答案
D
解析
抛物线$y = x^{2}-2$的顶点式为$y = a(x - h)^{2}+k$（其中$(h,k)$为顶点坐标），此抛物线可看作$y = 1×(x - 0)^{2}+(-2)$，所以顶点坐标是$(0,-2)$。
D
D
3. 把二次函数 $ y= x^{2}+4x-3 $ 化成 $ y= a(x+h)^{2}+k $ 的形式,正确的是( )
A.$ y= (x+2)^{2}-7 $
B.$ y= (x-2)^{2}+7 $
C.$ y= (x-2)^{2}-7 $
D.$ y= (x+2)^{2}+1 $
A.$ y= (x+2)^{2}-7 $
B.$ y= (x-2)^{2}+7 $
C.$ y= (x-2)^{2}-7 $
D.$ y= (x+2)^{2}+1 $
答案
A
解析
$y=x^{2}+4x-3$
$=x^{2}+4x+4-4-3$
$=(x+2)^{2}-7$
结论：A
$=x^{2}+4x+4-4-3$
$=(x+2)^{2}-7$
结论：A
4. 将抛物线 $ y= x^{2} $ 先向右平移2个单位,再向下平移2个单位,所得抛物线相应的函数表达式是( )
A.$ y= (x-2)^{2}-2 $
B.$ y= (x-2)^{2}+2 $
C.$ y= (x+2)^{2}-2 $
D.$ y= (x+2)^{2}+2 $
A.$ y= (x-2)^{2}-2 $
B.$ y= (x-2)^{2}+2 $
C.$ y= (x+2)^{2}-2 $
D.$ y= (x+2)^{2}+2 $
答案
A
解析
抛物线平移规律：左加右减，上加下减。
将抛物线$y = x^2$向右平移2个单位，得$y=(x - 2)^2$；
再向下平移2个单位，得$y=(x - 2)^2-2$。
A
将抛物线$y = x^2$向右平移2个单位，得$y=(x - 2)^2$；
再向下平移2个单位，得$y=(x - 2)^2-2$。
A
5. 二次函数 $ y= x^{2}-5x-6 $ 的图象与x轴的交点坐标是( )
A.(0,-6)
B.(-6,0),(1,0)
C.(-1,0),(6,0)
D.(3,0),(2,0)
A.(0,-6)
B.(-6,0),(1,0)
C.(-1,0),(6,0)
D.(3,0),(2,0)
答案
C
解析
解：令$y=0$，则$x^{2}-5x-6=0$。
因式分解得$(x-6)(x+1)=0$。
解得$x_{1}=6$，$x_{2}=-1$。
所以二次函数$y=x^{2}-5x-6$的图象与$x$轴的交点坐标是$(-1,0)$，$(6,0)$。
C
因式分解得$(x-6)(x+1)=0$。
解得$x_{1}=6$，$x_{2}=-1$。
所以二次函数$y=x^{2}-5x-6$的图象与$x$轴的交点坐标是$(-1,0)$，$(6,0)$。
C
6. 在同一坐标系中,抛物线 $ y= (x-a)^{2} $ 与直线 $ y= a+ax $ 的图象可能是( )
A.
B.
C.
D.
A.
B.
C.
D.
答案
D
解析
解：抛物线 $ y=(x-a)^{2} $ 开口向上，顶点为 $ (a,0) $。
直线 $ y=a+ax = a(x+1) $，斜率为 $ a $，过点 $ (-1,0) $。
情况1：$ a＞0 $
抛物线顶点 $ (a,0) $ 在 $ x $ 轴正半轴。
直线斜率 $ a＞0 $，过 $ (-1,0) $，呈上升趋势。
情况2：$ a＜0 $
抛物线顶点 $ (a,0) $ 在 $ x $ 轴负半轴。
直线斜率 $ a＜0 $，过 $ (-1,0) $，呈下降趋势。
选项分析：
A、B抛物线开口方向错误；C直线不过点 $ (-1,0) $；D符合 $ a＞0 $ 时的特征：抛物线顶点在 $ x $ 轴正半轴，直线过 $ (-1,0) $ 且上升。
结论：D
直线 $ y=a+ax = a(x+1) $，斜率为 $ a $，过点 $ (-1,0) $。
情况1：$ a＞0 $
抛物线顶点 $ (a,0) $ 在 $ x $ 轴正半轴。
直线斜率 $ a＞0 $，过 $ (-1,0) $，呈上升趋势。
情况2：$ a＜0 $
抛物线顶点 $ (a,0) $ 在 $ x $ 轴负半轴。
直线斜率 $ a＜0 $，过 $ (-1,0) $，呈下降趋势。
选项分析：
A、B抛物线开口方向错误；C直线不过点 $ (-1,0) $；D符合 $ a＞0 $ 时的特征：抛物线顶点在 $ x $ 轴正半轴，直线过 $ (-1,0) $ 且上升。
结论：D
