【例1】下列函数中,属于二次函数的是( )
A.$ y= 2x-1 $
B.$ y= \frac{1}{x} $
C.$ y= x^{2}(x+3) $
D.$ y= x(x+1) $
A.$ y= 2x-1 $
B.$ y= \frac{1}{x} $
C.$ y= x^{2}(x+3) $
D.$ y= x(x+1) $
答案
D
解析
A. $y=2x-1$是一次函数，不符合题意；
B. $y=\frac{1}{x}$是反比例函数，不符合题意；
C. $y=x^{2}(x+3)=x^{3}+3x^{2}$是三次函数，不符合题意；
D. $y=x(x+1)=x^{2}+x$是二次函数，符合题意。
D
B. $y=\frac{1}{x}$是反比例函数，不符合题意；
C. $y=x^{2}(x+3)=x^{3}+3x^{2}$是三次函数，不符合题意；
D. $y=x(x+1)=x^{2}+x$是二次函数，符合题意。
D
【变式】若函数 $ y= (a^{2}+a)x^{|a|+1}+2x+m $ 是二次函数,则a的值为( )
A.$ \pm 1 $
B.1
C.-1
D.1或0
A.$ \pm 1 $
B.1
C.-1
D.1或0
答案
B
解析
要使函数$y = (a^{2}+a)x^{|a|+1}+2x+m$是二次函数，需满足：
1. 二次项系数不为$0$：$a^{2}+a \neq 0$，即$a(a + 1) \neq 0$，解得$a \neq 0$且$a \neq -1$；
2. 自变量最高次数为$2$：$|a| + 1 = 2$，解得$|a| = 1$，即$a = \pm 1$。
综合上述条件，$a = 1$。
B
1. 二次项系数不为$0$：$a^{2}+a \neq 0$，即$a(a + 1) \neq 0$，解得$a \neq 0$且$a \neq -1$；
2. 自变量最高次数为$2$：$|a| + 1 = 2$，解得$|a| = 1$，即$a = \pm 1$。
综合上述条件，$a = 1$。
B
【例2】平移二次函数 $ y= ax^{2} $ 的图象,使它满足下列条件,并分别求对应的函数表达式.
(1)顶点为A(-1,-2),且经过点B(1,10).
(2)对称轴为直线 $ x= 3 $,最大值为-1,且经过点C(4,-3).
(1)顶点为A(-1,-2),且经过点B(1,10).
(2)对称轴为直线 $ x= 3 $,最大值为-1,且经过点C(4,-3).
答案
解:
(1)设平移后的二次函数表达式为$y=a(x-h)^{2}+k$.
∵顶点为$A(-1,-2),\therefore y=a(x+1)^{2}-2.$
∵经过点$B(1,10).$
$\therefore 10=4a-2,\therefore a=3,$
∴对应的函数表达式为$y=3(x+1)^{2}-2.$
(2)
∵对称轴为直线$x=3$,最大值为-1,
∴顶点为$(3,-1),$
∴平移后的二次函数表达式为$y=a(x-3)^{2}-1.$
∵经过点$C(4,-3),$
$\therefore -3=a-1,\therefore a=-2.$
∴对应的函数表达式为$y=-2(x-3)^{2}-1.$
(1)设平移后的二次函数表达式为$y=a(x-h)^{2}+k$.
∵顶点为$A(-1,-2),\therefore y=a(x+1)^{2}-2.$
∵经过点$B(1,10).$
$\therefore 10=4a-2,\therefore a=3,$
∴对应的函数表达式为$y=3(x+1)^{2}-2.$
(2)
∵对称轴为直线$x=3$,最大值为-1,
∴顶点为$(3,-1),$
∴平移后的二次函数表达式为$y=a(x-3)^{2}-1.$
∵经过点$C(4,-3),$
$\therefore -3=a-1,\therefore a=-2.$
∴对应的函数表达式为$y=-2(x-3)^{2}-1.$
【变式】一个抛物线和 $ y= -3x^{2} $ 形状相同,方向相反,且顶点为(-1,3),则它的函数表达式为______.
答案
$y=3(x+1)^{2}+3$
【例3】已知二次函数 $ y= x^{2} $ 的图象向左平移h个单位,再向下平移k个单位,得到二次函数 $ y= (x+2)^{2}-3 $ 的图象,则h和k的值分别为( )
A.-2,3
B.-2,-3
C.2,-3
D.2,3
A.-2,3
B.-2,-3
C.2,-3
D.2,3
答案
D
解析
二次函数$y=x^{2}$的图象向左平移$h$个单位，得到$y=(x+h)^{2}$，再向下平移$k$个单位，得到$y=(x+h)^{2}-k$。已知平移后函数为$y=(x+2)^{2}-3$，所以$h=2$，$k=3$。
D
D
【变式】在平面直角坐标系中,将抛物线 $ y= x^{2}-2x+2 $ 向左平移1个单位,得到的抛物线的函数表达式为______.
答案
$y=x^{2}+1$
解析
$y=(x+1)^{2}-2(x+1)+2$
$=x^{2}+2x+1-2x-2+2$
$=x^{2}+1$
$=x^{2}+2x+1-2x-2+2$
$=x^{2}+1$
【例4】一次函数 $ y= bx-a $ 和二次函数 $ y= ax^{2}+x+b(a \neq 0) $ 在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )
A.
B.
C.
D.
A.
B.
C.
D.
答案
A
解析
解：
1. 分析选项A：
二次函数开口向上，得 $a＞0$；对称轴在y轴左侧，$-\frac{1}{2a}＜0$，符合 $a＞0$。
一次函数过二、三、四象限，得 $b＜0$，$-a＜0$（即 $a＞0$），与二次函数结论一致。
2. 分析选项B：
二次函数开口向下，得 $a＜0$；对称轴在y轴左侧，$-\frac{1}{2a}＜0$，即 $a＞0$，矛盾，排除。
3. 分析选项C：
二次函数开口向上，得 $a＞0$；一次函数过一、三、四象限，得 $b＞0$，$-a＜0$（即 $a＞0$）。
二次函数与y轴交点为 $(0,b)$，开口向上时应在y轴正半轴，而图中交点在负半轴，矛盾，排除。
4. 分析选项D：
二次函数开口向下，得 $a＜0$；一次函数过一、二、四象限，得 $b＜0$，$-a＞0$（即 $a＜0$）。
二次函数与y轴交点为 $(0,b)$，开口向下时应在y轴负半轴，而图中交点在正半轴，矛盾，排除。
结论：A
1. 分析选项A：
二次函数开口向上，得 $a＞0$；对称轴在y轴左侧，$-\frac{1}{2a}＜0$，符合 $a＞0$。
一次函数过二、三、四象限，得 $b＜0$，$-a＜0$（即 $a＞0$），与二次函数结论一致。
2. 分析选项B：
二次函数开口向下，得 $a＜0$；对称轴在y轴左侧，$-\frac{1}{2a}＜0$，即 $a＞0$，矛盾，排除。
3. 分析选项C：
二次函数开口向上，得 $a＞0$；一次函数过一、三、四象限，得 $b＞0$，$-a＜0$（即 $a＞0$）。
二次函数与y轴交点为 $(0,b)$，开口向上时应在y轴正半轴，而图中交点在负半轴，矛盾，排除。
4. 分析选项D：
二次函数开口向下，得 $a＜0$；一次函数过一、二、四象限，得 $b＜0$，$-a＞0$（即 $a＜0$）。
二次函数与y轴交点为 $(0,b)$，开口向下时应在y轴负半轴，而图中交点在正半轴，矛盾，排除。
结论：A
【变式】二次函数 $ y= ax^{2}+b $ 的图象如下图所示,则一次函数 $ y= ax+b $ 的图象一定不经过( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
C
解析
解：由二次函数$y = ax^2 + b$的图象开口向下，得$a ＜ 0$；
由图象顶点在$y$轴正半轴，得$b ＞ 0$。
一次函数$y = ax + b$中，$a ＜ 0$，$b ＞ 0$，
则其图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限。
C
由图象顶点在$y$轴正半轴，得$b ＞ 0$。
一次函数$y = ax + b$中，$a ＜ 0$，$b ＞ 0$，
则其图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限。
C
