7. 已知抛物线 $ y= ax^{2}+bx+c(a \neq 0) $ 的图象如下图所示,则下列结论正确的是( )


A.$ abc ＜ 0 $
B.$ a-b= 0 $
C.$ 3a-c= 0 $
D.$ am^{2}+bm \leq a-b $(m为任意实数)

D

解：由抛物线开口向下得$a＜0$；与$y$轴交于正半轴得$c＞0$；对称轴$x=-\frac{b}{2a}=\frac{-3+1}{2}=-1$，即$-\frac{b}{2a}=-1$，得$b=2a＜0$。
A. $abc=a\cdot 2a\cdot c=2a^{2}c$，$a^{2}＞0$，$c＞0$，则$abc＞0$，A错误。
B. $a-b=a-2a=-a$，$a\neq0$，则$a-b\neq0$，B错误。
C. 抛物线过点$(1,0)$，则$a+b+c=0$，$b=2a$代入得$3a+c=0$，即$3a=-c$，C错误。
D. 抛物线顶点横坐标为$-1$，当$x=-1$时，$y=a-b+c$为最大值。对任意实数$m$，$am^{2}+bm+c\leq a-b+c$，即$am^{2}+bm\leq a-b$，D正确。
结论：D

8. 在二次函数 $ y= ax^{2}+bx+c(a \neq 0) $ 中,函数值y与自变量x的部分对应值如下表：
| x | ... | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | ... |
| y | ... | 8 | 3 | 0 | -1 | 0 | 3 | ... |

利用二次函数的图象性质,可知该二次函数图象的顶点坐标为______.

(1,-1)

解：由表格可知，当$x=0$时，$y=0$；当$x=2$时，$y=0$。
二次函数图象的对称轴为直线$x = \frac{0 + 2}{2} = 1$。
当$x=1$时，$y=-1$。
所以该二次函数图象的顶点坐标为$(1,-1)$。
$(1,-1)$

9. 已知函数 $ y= ax^{2}(a \neq 0) $ 与 $ y= \frac{-3}{x} $ 的图象交点的横坐标为-1,则 $ a= $______.

3

因为函数$y = ax^2(a \neq 0)$与$y = \frac{-3}{x}$的图象交点的横坐标为$-1$，
所以交点的横坐标$x=-1$满足两个函数解析式。
将$x=-1$代入$y = \frac{-3}{x}$，得$y=\frac{-3}{-1}=3$，
所以交点坐标为$(-1,3)$。
将$(-1,3)$代入$y = ax^2$，得$3=a×(-1)^2$，即$3=a×1$，解得$a=3$。
$3$

10. 如图,这是二次函数 $ y= -x^{2}+2x $ 的图象,当 $ -1 ＜ x ＜ a $ 时,y随x的增大而增大,则实数a的取值范围是______.

$-1＜a≤1$

解：二次函数$y = -x^2 + 2x$的对称轴为$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2×(-1)} = 1$。
因为二次项系数$-1 ＜ 0$，抛物线开口向下，所以当$x ＜ 1$时，$y$随$x$的增大而增大。
已知当$-1 ＜ x ＜ a$时，$y$随$x$的增大而增大，故$a$的取值范围是$-1 ＜ a \leq 1$。
$-1 ＜ a \leq 1$

11. 已知函数 $ y= -(m+2)x^{m^{2}-2} $(m为常数),求当m为何值时：
(1)y是x的一次函数？
(2)y是x的二次函数？并求出此时纵坐标为-8的点的坐标.

解:
(1)由$y=-(m+2)x^{m^{2}-2}$(m为常数),y是x的一次函数,得$\left\{\begin{array}{l} m^{2}-2=1,\\ m+2≠0,\end{array}\right. $
解得$m=\pm \sqrt {3},$
∴当$m=\pm \sqrt {3}$时,y是x的一次函数.
(2)由$y=-(m+2)x^{m^{2}-2}$(m为常数)是二次函数,得$\left\{\begin{array}{l} m^{2}-2=2,\\ m+2≠0,\end{array}\right. $
解得$m=2,m=-2$(不符合题意,舍去),
∴当$m=2$时,y是x的二次函数.
当$y=-8$时,$-8=-4x^{2},$
解得$x=\pm \sqrt {2},$
故纵坐标为-8的点的坐标是$(\pm \sqrt {2},-8).$