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例 1 计算：$(\frac {x+2}{x^{2}-2x}-\frac {x-1}{x^{2}-4x+4})÷\frac {x-2}{x}$.
答案
解：
原式$=[\frac{x+2}{x(x-2)} - \frac{x-1}{(x-2)^2}] × \frac{x}{x-2}$
$=[\frac{(x+2)(x-2) - x(x-1)}{x(x-2)^2}] × \frac{x}{x-2}$
$=\frac{x^2 - 4 - x^2 + x}{x(x-2)^2} × \frac{x}{x-2}$
$=\frac{x - 4}{x(x-2)^2} × \frac{x}{x-2}$
$=\frac{x - 4}{(x-2)^3}$
原式$=[\frac{x+2}{x(x-2)} - \frac{x-1}{(x-2)^2}] × \frac{x}{x-2}$
$=[\frac{(x+2)(x-2) - x(x-1)}{x(x-2)^2}] × \frac{x}{x-2}$
$=\frac{x^2 - 4 - x^2 + x}{x(x-2)^2} × \frac{x}{x-2}$
$=\frac{x - 4}{x(x-2)^2} × \frac{x}{x-2}$
$=\frac{x - 4}{(x-2)^3}$
例 2 已知：$\frac {1}{x}-\frac {1}{y}=3$，求$\frac {x-3xy-y}{2x+3xy-2y}$的值.
答案
解：
由$\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=3$，通分得：
$\frac{y - x}{xy}=3$
即$y - x=3xy$，故$x - y=-3xy$。
将$x - y=-3xy$代入$\frac{x-3xy-y}{2x+3xy-2y}$：
原式=$\frac{(x - y)-3xy}{2(x - y)+3xy}$
=$\frac{-3xy - 3xy}{2×(-3xy)+3xy}$
=$\frac{-6xy}{-3xy}$
=2
由$\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=3$，通分得：
$\frac{y - x}{xy}=3$
即$y - x=3xy$，故$x - y=-3xy$。
将$x - y=-3xy$代入$\frac{x-3xy-y}{2x+3xy-2y}$：
原式=$\frac{(x - y)-3xy}{2(x - y)+3xy}$
=$\frac{-3xy - 3xy}{2×(-3xy)+3xy}$
=$\frac{-6xy}{-3xy}$
=2
一、选择题
1. 试卷上一个正确的式子$(\frac {1}{a+b}-\frac {1}{a-b})·■=\frac {2}{a+b}$被小明同学不小心滴上墨汁.被墨汁遮住部分“■”处的代数式为()
A. $\frac {-b}{a-b}$
B. $\frac {a-b}{-b}$
C. $\frac {a}{a+b}$
D. $\frac {-a}{a+b}$
1. 试卷上一个正确的式子$(\frac {1}{a+b}-\frac {1}{a-b})·■=\frac {2}{a+b}$被小明同学不小心滴上墨汁.被墨汁遮住部分“■”处的代数式为()
A. $\frac {-b}{a-b}$
B. $\frac {a-b}{-b}$
C. $\frac {a}{a+b}$
D. $\frac {-a}{a+b}$
答案
解：设“■”处的代数式为$x$，则
$(\frac{1}{a+b}-\frac{1}{a-b})·x=\frac{2}{a+b}$
$x=\frac{2}{a+b}÷(\frac{1}{a+b}-\frac{1}{a-b})$
计算括号内的式子：
$\frac{1}{a+b}-\frac{1}{a-b}=\frac{(a-b)-(a+b)}{(a+b)(a-b)}=\frac{a-b-a-b}{(a+b)(a-b)}=\frac{-2b}{(a+b)(a-b)}$
代入计算$x$：
$x=\frac{2}{a+b}÷\frac{-2b}{(a+b)(a-b)}$
$x=\frac{2}{a+b}·\frac{(a+b)(a-b)}{-2b}$
$x=\frac{a-b}{-b}$
故选B。
$(\frac{1}{a+b}-\frac{1}{a-b})·x=\frac{2}{a+b}$
$x=\frac{2}{a+b}÷(\frac{1}{a+b}-\frac{1}{a-b})$
计算括号内的式子：
$\frac{1}{a+b}-\frac{1}{a-b}=\frac{(a-b)-(a+b)}{(a+b)(a-b)}=\frac{a-b-a-b}{(a+b)(a-b)}=\frac{-2b}{(a+b)(a-b)}$
代入计算$x$：
$x=\frac{2}{a+b}÷\frac{-2b}{(a+b)(a-b)}$
$x=\frac{2}{a+b}·\frac{(a+b)(a-b)}{-2b}$
$x=\frac{a-b}{-b}$
故选B。
2. 下列计算正确的是()
A.$\frac {2}{a}-\frac {1}{b}=\frac {1}{a-b}$
B.$a+\frac {1}{b}· b=a$
C.$a÷\frac {1}{b}· b=a$
D.$a÷b· \frac {1}{b}=\frac {a}{b^{2}}$
A.$\frac {2}{a}-\frac {1}{b}=\frac {1}{a-b}$
B.$a+\frac {1}{b}· b=a$
C.$a÷\frac {1}{b}· b=a$
D.$a÷b· \frac {1}{b}=\frac {a}{b^{2}}$
答案
D
解析
逐个分析选项：
选项A：分式减法需通分，$\frac{2}{a}-\frac{1}{b}=\frac{2b - a}{ab}≠\frac{1}{a-b}$，错误；
选项B：先算乘法，$\frac{1}{b}·b=1$，则$a+\frac{1}{b}·b=a+1≠a$，错误；
选项C：乘除同级运算从左到右，$a÷\frac{1}{b}·b=a·b·b=ab²≠a$，错误；
选项D：乘除同级运算从左到右，$a÷b·\frac{1}{b}=\frac{a}{b}·\frac{1}{b}=\frac{a}{b²}$，正确。
选项A：分式减法需通分，$\frac{2}{a}-\frac{1}{b}=\frac{2b - a}{ab}≠\frac{1}{a-b}$，错误；
选项B：先算乘法，$\frac{1}{b}·b=1$，则$a+\frac{1}{b}·b=a+1≠a$，错误；
选项C：乘除同级运算从左到右，$a÷\frac{1}{b}·b=a·b·b=ab²≠a$，错误；
选项D：乘除同级运算从左到右，$a÷b·\frac{1}{b}=\frac{a}{b}·\frac{1}{b}=\frac{a}{b²}$，正确。
二、填空题
3. 若$m-\frac {1}{m}=2$，则$m^{2}+\frac {1}{m^{2}}$的值为.
3. 若$m-\frac {1}{m}=2$，则$m^{2}+\frac {1}{m^{2}}$的值为.
答案
解：
因为$m-\frac{1}{m}=2$，
所以$(m-\frac{1}{m})^2=2^2$，
展开得：$m^2 - 2· m·\frac{1}{m} + \frac{1}{m^2}=4$，
化简得：$m^2 - 2 + \frac{1}{m^2}=4$，
移项得：$m^2 + \frac{1}{m^2}=4+2=6$。
最终结论：$\boxed{6}$
因为$m-\frac{1}{m}=2$，
所以$(m-\frac{1}{m})^2=2^2$，
展开得：$m^2 - 2· m·\frac{1}{m} + \frac{1}{m^2}=4$，
化简得：$m^2 - 2 + \frac{1}{m^2}=4$，
移项得：$m^2 + \frac{1}{m^2}=4+2=6$。
最终结论：$\boxed{6}$
4. 计算$\frac {a-1}{a}÷(a-\frac {2a-1}{a})$的值为.
答案
$\frac{1}{a-1}$
解析
1. 计算括号内的式子：将$a$化为$\frac{a^2}{a}$，通分后得$\frac{a^2 - (2a - 1)}{a}$，化简分子$a^2-2a+1=(a-1)^2$，即括号内结果为$\frac{(a-1)^2}{a}$；
2. 将除法转化为乘法：原式变为$\frac{a-1}{a} × \frac{a}{(a-1)^2}$；
3. 约分：约去$a$和一个$(a-1)$，最终得$\frac{1}{a-1}$。
2. 将除法转化为乘法：原式变为$\frac{a-1}{a} × \frac{a}{(a-1)^2}$；
3. 约分：约去$a$和一个$(a-1)$，最终得$\frac{1}{a-1}$。
